Общий взгляд на преобразование дробей
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Общий взгляд на преобразование дробей

    Данный обобщенный материал известен из школьного курса математики. Тут рассматриваем дроби общего вида с числами, степенями, корнями, логарифмами, тригонометрическими функция ми или другими объектами. Будут рассмотрены основные преобразования дробей вне зависимости от их вида.

    Что такое дробь?

    Определение 1

    Дробь – это выражение, которое записывается в виде AB или А/В, где A и B являются некоторыми произвольными числами.

    Существует еще несколько определений.

    Определение 2

    Горизонтальная наклонная черта, которая разделяет A и B, называют чертой дроби или дробной чертой.

    Определение 3

    Выражение, которое находится над чертой дроби, называют числителем,  а под – знаменателем.

    От обыкновенных дробей к дробям общего вида

    Знакомство с дробью происходит еще в 5 классе, когда проходят обыкновенные дроби. Из определения видно, что числителем и знаменателем являются натуральные числа.

    Пример 1

    К примеру 15, 26, 127, 31, которые можно записать как 1/5, 2/6, 12/7, 3/1.

    После изучения действий с обыкновенными дробями имеем дело с дробями, которые имеют в знаменателе не одно натуральное число, а выражения с натуральными числами.

    Пример 2

    Например, 1+35, 9-516, 2·79·12.

    Когда имеем дело с дробями, где есть буквы или буквенные выражения, то записывается таким образом:

    a+bc, a-bc, a·cb·d.

    Определение 4

    Зафиксируем правила сложения, вычитания, умножения обыкновенных дробей ac+bc=a+bc, ac-bc=a-bc, ab·vd=a·cb·d

    Для вычисления зачастую необходимо приходить к переводу смешанных чисел в обыкновенные дроби. Когда целую часть обозначим как a, тогда дробная имеет вид b/c, получаем дробь вида a·c+bc, откуда понятно появления таких дробей 2·11+311, 5·2+12 и так далее.

    Черта дроби расценивается как знак деления. Поэтому запись можно преобразовать по-другому:

    1:a-(2·b+1)=1a-2·b+1, 5-1,7·3:2·3-4:2=5-1,7·32·3-4:2, где частное 4:2 можно заменить на дробь, тогда получим выражение вида

    5-1,7·32·3-42

    Вычисления с рациональными дробями занимают особое место в математике, так как в числителе и знаменателе могут быть не просто числовые значения, а многочлены.

    Пример 3

    Например, 1x2+1, x·y-2·y20,5-2·x+y3.

    Рациональные выражения рассматриваются как дроби общего вида.

    Пример 4

    Например, x·x+14x2·x2-12·x3+3, 1+x2·y·(x-2)1x+3·x1+2-x4·x5+6·x.

    Изучение корней, степеней с рациональными показателями, логарифмов, тригонометрических функций говорит о том, что их применение появляется в заданных дробях вида:

    Пример 5

    anbn, 2·x+x23x13-12·x, 2x2+33x2+3, ln(x-3)ln e5, cos2α-sin2α1-1cos2α.

    Дроби могут быть комбинированными, то есть иметь вид  x+1x3log3sin2x+3, lgx+2lgx2-2·x+1.

    Виды преобразований дробей

    Для ряда тождественных преобразований рассматривают несколько видов:

    Определение 5
    • преобразование, характерное для работы с числителем и знаменателем;
    • изменение знака перед дробным выражением;
    • приведение к общему знаменателю и сокращение дроби;
    • представление дроби в виде суммы многочленов.

    Преобразование выражений в числителе и знаменателе

    Определение 6

    При тождественно равных выражениях имеем, что полученная дробь является тождественно равной исходной.

    Если дана дробь вида A/B, то A и B являются некоторыми выражениями. Тогда при замене получим дробь вида A1/B1. Необходимо доказать справедливость равенства A/A1=B/B1 при любом значении переменных, удовлетворяющих ОДЗ.

    Имеем, что A и A1 и B и B1 тождественно равны, тогда их значения тоже равны. Отсюда следует, что при любом их значении A/B и A1/B1 данные дроби будут равны.

    Такое преобразование упрощает работу с дробями, если необходимо преобразовывать отдельно числитель и отдельно знаменатель.

    Пример 6

    Для примера возьмем дробь вида 2/18, которую преобразуем к 22·3·3. Для этого знаменатель раскладываем на простые множители. Дробь x2+x·yx2+2·x·y+y2=x·x+y(x+y)2 имеет числитель вида x2+x·y, означает, что необходимо произвести замену на x·(x+y), которое будет получено при вынесении за скобки общего множителя x. Знаменатель заданной дроби x2+2·x·y+y2 свернуть по формуле сокращенного умножения. Тогда получим, что его тождественно равным выражением является (x+y)2.

    Пример 7

    Если дана дробь вида sin23·φ-π+cos23·φ-πφ·φ56,тогда для упрощения необходимо числитель заменить 1 по формуле, а знаменатель привести к виду φ1112. Тогда получим, что 1φ1112 равна заданной дроби.

    Изменение знака перед дробью,  в ее числителе, знаменателе

    Преобразования дробей – это также и замена знаков перед дробью. Рассмотрим некоторые правила:

    Определение 7
    • при изменении знака числителя получаем дробь, которая равна заданной, причем буквенно это выглядит  как _-A-B=AB, где А и В являются некоторыми выражениями;
    • при изменении знака перед дробью и перед числителем, получаем, что --AB=AB;
    • при замене знака перед дробью и его знаменателя, получаем, что -A-B=AB.

    Доказательство

    Знак минуса в большинстве случаев рассматривается как коэффициент со знаком -1, а дробная черта является делением. Отсюда получаем, что -A-B=-1·A:-1·B. Сгруппировав множители, имеем, что

    -1·A:-1·B=((-1):(-1)·A:B==1·A:B=A:B=AB

    После доказательства первого утверждения, обосновываем оставшиеся. Получим:

    --AB=(-1)·(((-1)·A):B)=(-1·-1)·A:B==1·(A:B)=A:B=AB-A-B=(-1)·(A:-1·B)=((-1):(-1))·(A:B)==1·(A:B)=A:B=AB

    Рассмотрим примеры.

    Пример 8

    Когда необходимо выполнить преобразование дроби 3/7 к виду -3-7, --37, -3-7, тогда аналогично выполняется с дробью вида -1+x-x2223-ln(x2+3)x+sin2x·3x.

    Преобразования выполняются следующим образом:

    1) -1+x-x2223-ln(x2+3)x+sin2x·3x==-(-1+x-x2)-223-lnx2+3x+sin2x·3x==1-x+x2-223+ln(x2+3)x-sin2x·3x2) -1+x-x2223-ln(x2+3)x+sin2x·3x==--(-1+x-x2)223-ln(x2+3)x+sin2x·3x==-1-x+x2223-ln(x2+3)x+sin2x·3x3)-1+x-x2223-ln(x2+3)x+sin2x·3x==--1+x-x2-223-ln(x2+3)x+sin2x·3x==--1+x-x2-223+ln(x2+3)x-sin2x·3x

    Приведение дроби к новому знаменателю

    При изучении обыкновенных дробей, мы коснулись основного свойства дробей, которое позволяет умножать, делить числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Это видно из равенства a·mb·m=ab и a:mb:m=ab, где a, b, m являются натуральными числами.

    Это равенство действительно для любых значений a, b , m и всех a, кроме b0 и m0. То есть мы получаем, что если числитель дроби А/В с A и C, которые являются некоторыми выражениями, умножить или разделить на выражение M, не равное 0, тогда получим дробь, тождественно равную начальной. Получаем, что A·MB·M=AB и A:MB:M=AB.

    Отсюда видно, что преобразования основываются на 2 преобразованиях: приведении к общему знаменателю,  сокращении.

    При приведении к общему знаменателю производится умножение на одно и то же число или выражение числитель и знаменатель. То есть мы переходим к решению тождественной равной преобразованной дроби.

    Рассмотрим примеры.

    Пример 9

    Если взять дробь x+10,5·x3 и умножить на 2, тогда получим, что новый знаменатель получится 2·0,5·x3=x3, а выражение примет вид 2·x+1x3.

    Пример 10

    Для приведения дроби 1-x2·x23·1+ln x к другому знаменателю вида 6·x·1+ln x3 нужно, чтобы числитель и знаменатель быль умножен на 3·x13·(1+ln x)2. В итоге получаем дробь 3·x13·1+ln x2·1-x6·x·(1+ln x)3

    Такое преобразование как избавление от иррациональности в знаменателе также применимо. Оно избавляет от наличия корня в знаменателе, что упрощает процесс решения.

    Сокращение дробей

    Основное свойство – это преобразование, то есть ее непосредственное сокращение. При сокращении мы получаем упрощенную дробь. Рассмотрим на примере:

    Пример 11

    Или дробь вида x3·x3·x2·(2x2+1+3)x3·x3·2x2+1+3·3+13·x, где сокращение производится при помощи x3, x3, 2x2+1+3 или на выражение вида x3·x3·2x2+1+3. Тогда получим дробь x23+13·x

    Сокращение дроби является простым, когда общие множители сразу явно видны. Практически это встречается не часто, поэтому предварительно необходимо проводить некоторые преобразования выражений такого вида. Бывают случаи, когда необходимо находить общий множитель.

    Если имеется дробь вида x223·(1-cos2x)2·sinx2·cosx22·x13, тогда необходимо применять тригонометрические формулы и свойства степеней для того, чтобы можно было преобразовать дробь к виду x13·x213·sin2xsin2x·x13. Это даст возможность сократить ее на x13·sin2x.

    Представление дроби в виде суммы

    Когда числитель имеет алгебраическую сумму выражений типа A1, A2,, An, а знаменатель обозначается B, тогда эта дробь может быть представлена как A1/B, A2/B, , An/B.

    Определение 8

    Для этого зафиксируем это A1+A2+...+AnB=A1B+A2B+...+AnB.

    Данное преобразование в корне отличается от  сложения дробей с одинаковыми показателями. Рассмотрим пример.

    Пример 12

    Дана дробь вида sin x-3·x+1+1x2, которую мы представим как алгебраическая сумма дробей. Для этого представим как sin xx2-3·x+1x2+1x2 или sin x-3·x+1x2+1x2 или sin xx2+-3·x+1+1x2.

    Любая дробь, имеющая вид А/В представляется  в виде суммы дробей любым способом.  Выражение A в числителе может быть уменьшено или увеличено на любое число или выражение А0, которое даст возможность прейти к A+A0B-A0B.

    Разложение дроби на простейшие  является частным случаем для преобразования дроби в сумму. Чаще всего его применяют при сложных вычислениях для интегрирования.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,1 из 5 (16 голосов)