Скобки в математике: их виды и предназначение

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В данной статье рассказывается о скобках в математике, делается своеобразный их анализ, объясняется, зачем они нужны, рассматриваются виды и применения, термины и методы использования при решении или для описания материала. В заключение будем решать подобные математические примеры с подробными комментариями.

Основные виды скобок, обозначения, терминология

Для решения задач или заданий в математике (алгебре и геометрии) и дискретной математике используются три вида скобок: $(), [], {}$ . И это, на самом деле, немало. Реже встречаются скобки такого вида $]$ и $[$ , называемые обратными, или $<$ и $>$ , то бывают в виде уголка или треугольные, угловые скобки (первая пара обозначает, в какую сторону пишется знак меньше). Что означает такой знак в математике и в чем их разница? Их применение всегда парное (двойное), то есть имеется открывающаяся и закрывающаяся скобка в любом выражении, тогда оно имеет смысл. Скобки позволяют разграничить и определить последовательность действий.

Фигурная непарная скобка типа ${$ встречается при решении систем уравнений, что обозначает пересечение заданных множеств, а $[$ скобка используется при их объединении. Далее рассмотрим их применение.

Скобки для указания порядка выполнения действий

Что означает скобка в принципе? Основное предназначение скобок – указание порядка, в котором нужно сделать действия. Тогда выражение может иметь одну или несколько пар круглых скобок. По правилу всегда выполняется первым действие в скобках, после чего умножение и деление, а позже сложение и вычитание.

Пример 1

Рассмотрим на примере заданное выражение. Если дан пример вида $5 + 3 - 2$ , тогда очевидно, что действия выполняются последовательно. Когда это же выражение необходимо записать со скобками, тогда их последовательность меняется. То есть при $(5 + 3) - 2$ первое действие выполняется в скобках. В данном случае изменений не будет. Если выражение будет записано в виде $5 + (3 - 2)$ , тогда в начале производятся вычисления в скобках (их нужно раскрывать), после такого раскрытия пример должен решаться математиком путем сложения с числом $5$ . На исходное значение в этом случае оно не повлияет.

Пример 2

Рассмотрим пример, который покажет, как при изменении положения скобок может перевертываться результат. Если дано выражение $5 + 2 \cdot 4$ , видно, что вначале выполняется умножение, после чего сложение. Когда выражение будет иметь вид $(5 + 2) \cdot 4$ , то вначале выполнится действие в скобках, после чего произведется умножение. Результаты выражений будут отличаться.

Выражения могут содержать несколько пар скобок, тогда выполнения мат-х действий начинаются с первой. В выражении вида $(4 + 5 \cdot 2) - 0, 5 : (7 - 2) : (2 + 1 + 12)$ видно, что первым делом выполняются действия в скобках, после чего деления, а в конце вычитание.

Существуют примеры, где имеются вложенные сложные скобки вида $(4 \cdot (6 - 3) + 8) : 2$ и $5 \cdot (1 + (8 - 2 \cdot 3 + 5) - 2)) - 4$ . Тогда начинается выполнение действий с внутренних скобок. Далее производится продвижение к внешним.

Пример 3

Если имеется выражение $(4 \cdot (6 - 3) + 8) : 2$ , тогда очевидно, что в первую очередь выполняются действия в скобках. Значит, следует отнять $3$ от $6$ , умножить на $4$ и прибавить $8$ . В конце следует разделить на $2$ . Только так можно получить верный ответ.

На письме могут быть использованы скобки разных размеров, а не только разновидностей. Это делается для удобства и возможности различия или отличия одной пары от другой. Внешние скобки всегда большего размера, чем внутренние. То есть получаем выражение вида $(((5 - 1) : 2 + \frac{1}{2}) + 3 - \frac{1}{3} \cdot 2) \cdot 3 - 4$ . Редко встречается применение выделенных скобок $(2 + 2 \cdot (2 + (5 \cdot 4 - 4))) \cdot (6 : 2 - 3 \cdot 7) \cdot (5 - 3)$ или применяют квадратные скобки, например, $[3 + 5 \cdot (3 - 1)] \cdot 7$ или фигурные скобки ${5 + [7 - 12 : (8 - 5) : 3] + 7 - 2} : [3 + 5 + 6 : (5 - 2 - 1)]$ .

Перед тем, как приступить к решению, важно правильно определить порядок действий и разобрать все необходимые пары скобок. Для этого следует добавлять разные виды скобок или менять их цвет. Пометка скобки другим цветом удобна для решения, но занимает много времени, поэтому на практике чаще всего применяют круглые скобки, фигурные и квадратные скобки.

Отрицательные числа в скобках

Если необходимо изобразить отрицательные числа, тогда применяют круглые скобки в выражении. Такая запись, как $5 + (- 3) + (- 2) \cdot (- 1)$ , $5 + (- \frac{2}{3}), 2 \frac{5}{7} - \frac{5 + (- \frac{6}{7})}{3 \cdot (- 2) \cdot (- 3, 5)}$ предназначена для того, чтобы упорядочить отрицательные числа в выражении.

Скобки или кавычки не ставятся для отрицательного числа того, когда оно располагается в начале любого выражения или дроби. Если имеем пример вида $- 5 \cdot 4 + (- 4) : 2$ , то очевидно, что символ минуса перед $5$ можно не заключать в скобки, а при $\frac{3 - 0, 4}{- 2, 2 \cdot (3 + 7) + (3 - 1) : 2}$ число $2, 2$ записано вначале, значит скобки являются нужными. Со скобками может писаться выражение $(- 5) \cdot 4 + (- 4) : 2$ или $\frac{3 - 0, 4}{(- 2, 2) \cdot (3 + 7) + (3 - 1) : 2}$ . Запись, где имеются скобки, считается более строгой.

Знак минуса может находиться не только перед числом, но и перед переменными, степенями, корнями, дробями, функциями, тогда их следует заключить в скобки. Это такие записи, как $5 \cdot (- x), 12 : (- 22), 5 \cdot (- \sqrt{3 + 7 - 1}) + 7 : (- \sqrt[3]{x^{2} + 1}), 4 \frac{3}{4} - (- \frac{x + 2}{x - 1}), 2 \cdot (- (3 + 2 \cdot 4), 5 \cdot (- \log_{3} 2) - (- 2^{x^{2} + 4}), \sin x \cdot (- \cos 2 x) + 1$

Скобки для выражений, с которыми выполняются действия

Использование круглых скобок с высокой вероятностью связано с указанием в выражении действий, где имеется возведение в степень, взятие производной, функции. Они позволяют упорядочивать выражения для удобства дальнейшего решения.

Скобки в выражениях со степенями

Выражение со степенью не всегда следует заключать в скобки, так как степень располагается надстрочно. Если имеется запись вида $2^{x + 3}$ , то очевидно, что $х + 3$ – это показатель степени. Когда степень записывается в виде знака ^, тогда остальное выражение следует записывать с добавлением скобок, то есть $2^(x + 3)$ . Если записать это же выражение без скобок, то получится совсем другое выражение. При $2^x + 3$ на выходе получим $2^{x} + 3$ .

Основание степени не нуждается в скобках. Поэтому запись принимает вид $0^{3}, 5^{x 2 + 5}, y^{0, 5}$ . Если в основании имеется дробное число, тогда будут использоваться круглые скобки. Получаем выражения вида $(0, 75)^{2}, {(2 \frac{2}{3})}^{32 + 1}, (3 \cdot x + 2 \cdot y)^{- 3}, {(\log_{2} x - 2)}^{- \frac{1}{2} x} - 1$ .

Если выражение основания степени не взять в скобки, тогда показатель может относиться ко всему выражению, что повлечет за собой неправильное решение. Когда имеется выражение вида $x^{2} + y$ , а $- 2$ – это его степень, то запись примет вид $(x^{2} + y)^{- 2}$ . При отсутствии скобок выражение приняло бы вид $x^{2} + y^{- 2}$ , что является совершенно другим выражением.

Если основанием степени является логарифм или тригонометрическая функция с целым показателем, тогда запись приобретает вид $\sin, \cos, t g, c t g, a r c \sin, a r c \cos, a r c t g, a r c c t g, \log, \ln$ или $l g$ . При записи выражения вида $\sin^{2} x, a r c \cos^{3} y, \ln^{5} e$ и $\log_{5}^{2} x$ видим, что скобки перед функциями не меняют значения всего выражения, то есть они равноценны. Получаем записи вида $(\sin x)^{2}, (a r c \cos y)^{3}, (\ln e)^{5}$ и ${(\log_{5} x)}^{2}$ . Допустимо опущение скобок.

Скобки в выражениях с корнями

Использование скобок в подкоренном выражении бессмысленно, так как выражение вида $\sqrt{x + 1}$ и $\sqrt{(x + 1)}$ являются равнозначными. Скобки не дадут изменений при решении.

Скобки в выражениях с тригонометрическими функциями

Если имеются отрицательные выражения у функций типа синус, косинус, тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, тогда необходимо использовать круглые скобки. Это позволит правильно определить принадлежность выражения к имеющейся функции. То есть получим записи вида $\sin (- 5), \cos (x + 2)$ , $a r c t g (\frac{1}{x} - 2 \frac{2}{3})$ .

При записи $\sin, \cos, t g, c t g, a r c \sin, a r c \cos, a r c t g$ и $a r c c t g$ при имеющемся числе скобки не используют. Когда в записи присутствует выражение, тогда имеет смысл их поставлять. То есть $\sin \frac{π}{3}, t g \frac{x + π}{2}, a r c \sin \frac{x}{2}, a r c t g \frac{\sqrt{3}}{3}$ с корнями и степенями, $\cos \sqrt{x^{2} - 1}, a r c t g 3^{2}, c t g {(x + 1)}^{- 3}$ и подобные выражения.

Если в выражении содержатся кратные углы типа $х, 2 х, 3 х$ и так далее, скобки опускаются. Разрешено записывать в виде $\sin 2 x, c t g 7 x, \cos 3 α$ . Во избежание двусмысленности скобки можно добавить в выражение. Тогда получаем запись вида $\sin (2 \cdot x) : 2$ вместо $\sin 2 \cdot x : 2$ .

Скобки в выражениях с логарифмами

Чаще всего все выражения логарифмической функции заключаются в скобки для дальнейшего правильного решения. То есть получаем $\ln (e^{- 1} + e^{1}), \log_{3} (x^{2} + 3 \cdot x + 7), l g ((x + 1) \cdot (x - 2))$ . Опущение скобок разрешено в том случае, когда однозначно понятно, к какому выражению относится сам логарифм. Если есть дробь, корень или функция можно записывать выражения в виде $\log_{2} x^{5}, l g \sqrt{x - 5}, \ln \frac{5 \cdot x - 5}{\sqrt{3} - 5}$ .

Скобки в пределах

При имеющихся пределах стоит использовать скобки для представления выражения самого предела. То есть при суммах, произведениях, частных или разностях принято записывать выражения в скобках. Получаем, что $\lim_{n \to 5} (\frac{1}{n} + n - 2)$ и $\lim_{x \to 0} ((x + 5) \cdot \frac{x - 3}{(\sqrt{x} - 1) (x + \sqrt{x + 1})} : \frac{x + 2}{x^{2} + 3})$ . Опущение скобок предполагается, когда имеется простая дробь или очевидно, к какому выражению относится знак. Например, $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$ или $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$ .

Скобки и производная

При нахождении производной часто можно встретить применение круглых скобок. Если имеется сложное выражение, тогда вся запись берется в скобки. Например, $(x + 1)'$ или $(\frac{\sin x}{x} - \sqrt{x + 1})$ .

Подынтегральные выражения в скобках

Если необходимо проинтегрировать выражение, то следует записать его в круглых скобках. Тогда пример примет вид $\int (x^{2} + 3 x) d x, \int_{- 1}^{1} (\sin 2 x - \sqrt{3}) d x, \underset{V}{∭} (3 x y + z) d x d y d z$ .

Скобки, отделяющие аргумент функции

При наличии функции чаще всего применяются круглые скобки для их обозначения. Когда дана функция $f$ с переменной $х$ , тогда запись принимает вид $f (x)$ . Если имеются несколько аргументов функций, то такая функция получит вид $F (x, y, z, t)$ .

Скобки в периодических десятичных дробях

Использование периода обусловлено применением скобок при записи. Сам период десятичной дроби заключается в скобки. Если дана десятинная дробь вида $0, 232323 \dots$ тогда очевидно, что $2$ и $3$ мы заключаем в круглые скобки. Запись приобретает вид $0, (23)$ . Это характерно для любой записи периодической дроби.

Скобки для обозначения числовых промежутков

Для того чтобы изобразить числовые промежутки применяют скобки четырех видов: $(), (], [)$ и $[]$ . В скобках прописываются промежутки, в каких функция существует, то есть имеет решение. Круглая скобка означает, что число не входит в область определения. Что означает квадратная скобка в математике в таком случае? Что число входит в область определения. При наличии бесконечности принято изображать круглую скобку.

То есть при изображении промежутков получим, что $(0, 5), [- 0, 5, 12), (- 10 \frac{1}{2}, - 5 \frac{2}{3}), [5, 700], (- \infty, - 4], (- 3, + \infty), (- \infty, + \infty)$ . Не вся литература одинаково использует скобки. Есть случаи, когда можно увидеть запись такого вида $] 0, 1 [$ , что означает $(0, 1)$ или $[0, 1 [$ , что значит $[0, 1)$ , причем смысл выражения не меняется.

Обозначения систем и совокупностей уравнений и неравенств

Системы уравнений, неравенств принято записывать при помощи фигурной скобки вида ${$ . Это означает, что все неравенства или уравнения объединены этой скобкой. Рассмотрим на примере использования скобки. Система уравнений вида $\{\begin{cases} x^{2} - 1 = 0 \\ x^{2} + x - 2 = 0 \end{cases}$ или неравенства с двумя переменными $\{\begin{cases} x^{2} - y > 0 \\ 3 x + 2 y \leq 3 \end{cases}, \{\begin{cases} \cos x \frac{1}{2} (x + \frac{π}{3}) = 0 \\ 2 x^{2} - 4 \geq 5 \end{cases}$ -система, состоящая из двух уравнений и одного неравенства.

Использование фигурных скобок относится к изображению пересечения множеств. При решении системы с фигурной скобкой фактически приходим к пересечению заданных уравнений. Квадратная скобка служит для объединения.

Уравнения и неравенства обозначаются $[$ скобкой в том случае, если необходимо изобразить совокупность. Тогда получаем примеры вида $(x - 1) (x + 7) = 0 \sqrt{x - 2} = 12 + \sqrt{x^{2} - x + 3}$ и $x > 2 x - 5 y = 7 2 x + 3 y \geq 1$

Можно встретить выражения, где имеются и система, и совокупность:

$\{\begin{cases} x \geq 5 \\ x < 3 x > 4, 5 \end{cases}$

Фигурная скобка для обозначения кусочной функции

Кусочная функция изображается при помощи одиночной фигурной скобки, где имеются формулы, определяющие функцию, содержащие необходимые промежутки. Посмотрим на примере формулы с содержанием промежутков типа $|x| = \{\begin{cases} x, x \geq 0 \\ - x, x < 0 \end{cases}$ , где имеется кусочная функция.

Скобки для указания координат точки

Для того, чтобы изобразить координатные точки в виде промежутков, используют круглые скобки. Они могут быть расположены как на координатной прямой, так и в прямоугольной системе координат или n-мерном пространстве.

Когда координата записывается как $А (1)$ , то означает, что точка $А$ имеет координату со значением $1$ , тогда $Q (x, y, z)$ говорит о том, что точка $Q$ содержит координаты $x, y, z$ .

Скобки для перечисления элементов множества

Множества задаются при помощи перечисления элементов, входящих в его область. Это выполняется при помощи фигурных скобок, где сами элементы прописываются через запятую. Запись выглядит таким образом $А = {1, 2, 3, 4}$ . Видно, что множество состоит из значений, перечисленных в скобках.

Скобки и координаты векторов

При рассмотрении векторов в системе координат используется понятие координат вектора. То есть при обозначении используют координаты, которые записаны в виде перечисления в скобках.

Учебники предлагают два вида обозначения: $\vec{a} \{0; - 3\}$ или $\vec{a} (0; - 3)$ . Обе записи равнозначны и имеют значение координат $0, - 3$ . При изображении в трехмерном пространстве добавляется еще одна координата. Тогда запись выглядит так: $\vec{A B} \{0, - 3, \frac{2}{3}\}$ или $\vec{A B} (0, - 3, \frac{2}{3})$ .

Обозначение координат может быть как со значком вектора на самом векторе, так и без. Но запись координат производится через запятую в виде перечисления. Запись принимает вид $a = (2, 4, - 2, 6, \frac{1}{2})$ , где вектор обозначается в пятимерном пространстве. Реже можно увидеть обозначение двумерного пространства в виде $a = (\begin{matrix} 3 \\ - 7 \end{matrix})$

Скобки для указания элементов матриц

Частое применение скобок предусмотрено в матрицах. Все элементы фиксируются при помощи круглых скобок вида $A = (\begin{matrix} 4 & \frac{2}{3} & - \sqrt{3} \\ 0 & 0 & 12 \end{matrix})$ .

Реже можно увидеть использование квадратных скобок в математике в таких примерах.
Тогда матрица приобретает вид $A = [\begin{matrix} 4 & \frac{2}{3} & - \sqrt{3} \\ 0 & 0 & 12 \end{matrix}]$ .

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.