Нахождение угла между векторами: примеры и решения, как найти косинус угла между векторами, вычислите угол между векторами
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Нахождение угла между векторами

    Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

    Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a и b , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы OA=b и OB=b

    Определение 1

    Углом между векторами a и b называется угол между лучами ОА и ОВ.

    Полученный угол будем обозначать следующим образом: a,b^

    Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

    a,b^=0, когда векторы являются сонаправленными и a,b^=π , когда векторы противоположнонаправлены.

    Определение 2

    Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π2 радиан.

    Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a,b^ не определен.

    Нахождение угла между векторами

    Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

    Согласно определению скалярное произведение есть a, b=a·b·cosa,b^.

    Если заданные векторы a и b ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

    cosa,b^=a,ba·b

    Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

    Пример 1

    Исходные данные: векторы a и b . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно -9. Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

    Решение

    Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cosa,b^=-93·6=-12

    Теперь определим угол между векторами: a,b^=arccos (-12)=3π4

    Ответ: cosa,b^=-12, a,b^=3π4

    Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

    Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a=(ax, ay), b=(bx, by) выглядит так:

    cosa,b^=ax·bx+ay·byax2+ay2·bx2+by2

    А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz) будет иметь вид: cosa,b^=ax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2

    Пример 2

    Исходные данные: векторы a=(2, 0, -1), b=(1, 2, 3) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

    Решение

    1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

    cosa,b^=2·1+0·2+(-1)·322+02+(-1)2·12+22+32=-170a,b^=arccos(-170)=-arccos170

    1. Также можно определить угол по формуле:

    cosa,b^=(a, b)a·b,

    но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a=22+02+(-1)2=5b=12+22+32=14a,b^=2·1+0·2+(-1)·3=-1cosa,b^=a,b^a·b=-15·14=-170a,b^=-arccos170

    Ответ: a,b^=-arccos170

    Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

    Пример 3

    Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A(2, -1), B(3, 2), C(7, -2). Необходимо определить косинус угла между векторами AC и BC.

    Решение 

    Найдем координаты векторов по координатам заданных точек AC=(7-2, -2-(-1))=(5, -1)BC=(7-3, -2-2)=(4, -4)

    Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cosAC, BC^=(AC, BC)AC·BC=5·4+(-1)·(-4)52+(-1)2·42+(-4)2=2426·32=313

    Ответ: cosAC, BC^=313

    Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы OA=a и OB=b , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике ОАВ, будет верным равенство:

    AB2=OA2+OB2-2·OA·OB·cos(AOB) ,

    что равносильно:

    b-a2=a+b-2·a·b·cos(a, b)^

    и отсюда выведем формулу косинуса угла:

    cos(a, b)^=12·a2+b2-b-a2a·b

    Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

    Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

    cos(a, b)^=a, ba·b

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,8 из 5 (12 голосов)