Деление отрезка в заданном соотношении: координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении, a-b точка

Деление отрезка в заданном соотношении: координаты точки

    Когда существуют условия деления отрезка в определенном отношении, необходимо уметь определять координаты точки, служащей разделителем. Выведем формулу для нахождения этих координат, поставив задачу на плоскости.

    Определение координат точки, делящей отрезок в заданном отношении, на плоскости

    Исходные данные: задана прямоугольная система координат Oxy и две лежащие на ней, несовпадающие точки с заданными координатами A(xA,yA) и B(xB,yB) . А также задана точка С, делящая отрезок АВ в отношении λ (некоторое положительное действительное число). Необходимо определить координаты точки СxC и yC .

    Перед тем, как приступить к решению поставленной задачи, немного раскроем смысл заданного условия: «точка С, делящая отрезок АВ в отношении λ». Во-первых, это выражение свидетельствует о том, что точка С лежит на отрезке АВ (т.е. между точками А и В). Во-вторых, понятно, что согласно заданному условию отношение длин отрезков АС и СВ равно λ. Т.е. верно равенство:

    ACCB=λ .

    В этом случае точка А – начало отрезка, точка В – конец отрезка. Если бы было задано, что точка С делит в заданном отношении отрезок ВА, тогда верным было бы равенство: .

    Ну и совсем очевидный факт, что если λ = 1, то точка С является серединой отрезка АВ.

    Решим поставленную задачу при помощи векторов. Отобразим произвольно в некой прямоугольной системе координат точки А, В и точку С на отрезке АВ. Построим радиус-векторы указанных точек, а также векторы AC и CB . Согласно условиям задачи, точка С делит отрезок АВ в отношении λ.

    Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: OA=(xA, yA) и OB= (xB , yB) .

    Определим координаты вектора : они будут равны координатам точки С, которые и требуется найти по условию задачи.

    Используя операцию сложения векторов, запишем равенства: OC=OA+AC    OB=OC+CBCB=OB-OC

    По условию задачи точка С делит отрезок АВ в отношении λ, т.е. верно равенство AC=λ·CB .

    Векторы AC и CB лежат на одной прямой и являются сонаправленными. λ > 0 по условию задачи, тогда, согласно операции умножения вектора на число, получим: AC =λ·CB .

    Преобразуем выражение, подставив в него : CB=OB-OC .

    AC=λ·(OB-OC) .

    Равенство OC=OA+AC перепишем как OC=OA+λ·(OB-OC) .

    Используя свойства операций над векторами, из последнего равенства следует: OC=11+λ·(OA+λ·OB) .

    Теперь нам остается непосредственно вычислить координаты вектора OC=11+λ·OA+λ·OB .

    Выполним необходимые действия над векторами OA и OB .

    OA =(xA , yA) и OB = (xB , yB) , тогда OA+λ·OB = (xA+λ·xB, yA+λ·yB) .

    Таким образом, OC=11+λ·(OA+λ·OB) = (xA+λ·xB1+λ , yA+λ·yB1+λ) .

    Резюмируя: координаты точки С, делящей отрезок АВ в заданном отношении λ определяются по формулам : xC = xA+λ·xB1+λ и  yC=уA+λ·yB1+λ .

    Определение координат точки, делящей отрезок в заданном отношении, в пространстве 

    Исходные данные: прямоугольная система координат Oxyz, точки с заданными координатами A (xA , yA , zA) и B (xB , yB , zB) .

    Точка С делит отрезок АВ в отношении λ. Необходимо определить координаты точки С.

    Используем ту же схему рассуждений, что и в случае выше на плоскости, придем к равенству:

    OC =11+λ·(OA+λ·OB)

    Векторы и являются радиус-векторами точек А и В, а значит:

    OA= (xA , yA , zA) и OB=(xB , yB , zB), следовательно

    OC=11+λ·(OA+λ·OB) = (xA +λ·xB1+λ , yA +λ ·yB1+λ , zA + λ·zB1+λ)

    Таким образом, точка С, делящая отрезок АВ в пространстве в заданном отношении λ, имеет координаты: (xA+λ·xB1+λ , yA+λ·yB1+λ , zA + λ·zB1+λ)

    Рассмотрим теорию на конкретных примерах.

    Пример 1

    Исходные данные: точка С делит отрезок АВ в отношении пять к трем. Координаты точек А и В заданы A (11, 1, 0) , B(-9, 2, -4).

    Решение 

    По условию задачи λ = 53 . Применим полученные выше формулы и получим:

    xA+λ·xB1+λ=11+53·(-9)1+53=-32

    yA+λ·yB1+λ= 1+53·21+53=138

    zA+λ·zB1+λ=0+53·(-4)1+53= -52

    Ответ: C (-32 , 138 ,- 52)

    Пример 2

    Исходные данные: необходимо определить координаты центра тяжести треугольника АВС.

    Заданы координаты его вершин: A(2, 3, 1),  B(4, 1, -2),  C(-5, -4, 8)

    Решение

    Известно, что центром тяжести любого треугольника является точка пересечения его медиан (пусть это будет точка М). Каждая из медиан делится точкой М в отношении 2 к 1, считая от вершины. Исходя из этого, найдем ответ на поставленный вопрос.

    Допустим, что АD – медиана треугольника АВС. Точка М – точка пересечения медиан, имеет координаты M (xM , yM , zM ) и является центром тяжести треугольника. М, как точка пересечения медиан, делит отрезок АD в отношении 2 к 1, т.е. λ = 2.

    Найдем координаты точки D. Так как AD – медиана, то точка D – середина отрезка ВС. Тогда, используя формулу нахождения координат середины отрезка, получим:

    xD=xB+xC2=4+(-5)2 =- 12yD=yB+yC2=1+(-4)2= -32zD=zB+zC2=-2+82=3

    Вычислим координаты точки М:

    xM=xA+λ·xD1+λ=2+2·(-12)1+2=13

    yM=yA+λ·yD1+λ = 3+2·(-32)1+2=0

    zM=zA+λ·zD1+λ=1+2·31+2=73

    Ответ: (13, 0 , 73)

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter