Векторы на плоскости и в пространстве: основные определения

Векторы на плоскости и в пространстве - основные определения

    Определение вектора

    В статье пойдет речь о том, что такое вектор, что он из себя представляет в геометрическом смысле, введем вытекающие понятия.

    Для начала дадим определение:

    Определение 1

    Вектор – это направленный отрезок прямой.

    Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом.

    В математике для обозначения вектора обычно используют строчные латинские буквы, однако над вектором всегда ставится небольшая стрелочка, например a. Если известны граничные точки вектора – его начало и конец, к примеру A и B, то вектор обозначается так AB.

    Нулевой вектор

    Определение 2

    Под нулевым вектором 0 будем понимать любую точку плоскости или пространства.

    Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.

    нулевой вектор

    Длина вектора

    Определение 3

    Под длиной вектора AB понимается число, большее либо равное 0, и равное длине отрезка АВ.

    Длину вектораAB принято обозначать так AB.

    Понятия модуль вектора и длина вектора равносильны, потому что его обозначение совпадает со знаком модуля. Поэтому длину вектора также называют его модулем. Однако грамотнее использовать термин "длина вектора". Очевидно, что длина нулевого вектора принимает значение ноль.

    Коллинеарность векторов

    Определение 4

    Два вектора лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.

    Определение 5

    Два вектора не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются неколлинеарными.

    Следует запомнить, что Нулевой вектор всегда коллинеарен любому другому вектору, так как он может принимать любое направление.

    Коллиниарные векторы в свою очередь тоже можно разделить на два класса: сонаправленные и противоположно направленные.

    Направление векторов

    Определение 6

    Сонаправленными векторами называют два коллинеарных вектора a и b, у которых направления совпадают, такие векторы обозначаются так ab.

    Определение 7

    Противоположно направленными векторами называются два коллинеарных вектора a и b, у которых направления не совпадают, т.е. являются противоположными, такие векторы обозначаются следующим образом ab.

    Считается, что нулевой вектор является сонаправленым к любым другим векторам.

    Противоположно направленные векторы

    Равные и противоположные векторы

    Определение 8

    Равными называются сонаправленные вектора, у которых длины равны.

    Определение 9

    Противопожными называются противоположно направленные вектора, у которых их длины равны.

    Противоположные векторы

    Введенные выше понятия позволяют нам рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Иначе говоря, можно заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.

    Пусть заданы два произвольных вектора на плоскости или в пространстве a и b. Отложим от некоторой точки O плоскости или пространства векторы OA=a и OB=b. Лучи OA и OB образуют угол AOB=φ.

    Углы между векторами

    Определение 9

    Угол φ=AOB называется углом между векторами a=OA и b=OB.

    Углы между векторами

    Очевидно, что угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), так как сонаправленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых и имеют одинаковое направление, а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или π радиан), так как противоположно направленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых, но имеют противоположные направления.

    Определение 10

    Перпендикулярными называются два вектора, угол между которыми равен 90 градусам (или π2 радиан).

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,6 из 5 (5 голосов)