Формулы сложения: доказательство, примеры, формулы сложения синусов и косинусов, tg суммы и разности

Формулы сложения: доказательство, примеры

    Продолжаем наш разговор про наиболее употребляемые формулы в тригонометрии. Важнейшие из них – формулы сложения.

    Определение 1

    Формулы сложения позволяют выразить функции разности или суммы двух углов с помощью тригонометрических функций этих углов.

    Для начала мы приведем полный список формул сложения, потом докажем их и разберем несколько наглядных примеров.

    Основные формулы сложения в тригонометрии

    Выделяют восемь основных формул: синус суммы и синус разности двух углов, косинусы суммы и разности, тангенсы и котангенсы суммы и разности соответственно. Ниже приведены их стандартные формулировки и вычисления.

    1.Синус суммы двух углов можно получить следующим образом:

    - вычисляем произведение синуса первого угла на косинус второго;

    - умножаем косинус первого угла на синус первого;

    - складываем получившиеся значения.

    Графическое написание формулы выглядит так: sin (α+β)=sin α·cos β+cos α·sin β

    2. Синус разности вычисляется почти так же, только полученные произведения нужно не сложить, а вычесть друг из друга. Таким образом, вычисляем произведения синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго и находим их разность. Формула пишется так: sin (α-β)=sin α·cos β+sin α·sin β

    3. Косинус суммы. Для него находим произведения косинуса первого угла на косинус второго и синуса первого угла на синус второго соответственно и находим их разность: cos (α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β

    4. Косинус разности: вычисляем произведения синусов и косинусов данных углов, как и ранее, и складываем их. Формула: cos (α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β

    5. Тангенс суммы. Эта формула выражается дробью, в числителе которой – сумма тангенсов искомых углов, а в знаменателе – единица, из которой вычитается произведение тангенсов искомых углов. Все понятно из ее графической записи: tg (α+β)=tg α+tg β1-tg α·tg β

    6. Тангенс разности. Вычисляем значения разности и произведения тангенсов данных углов и поступаем с ними схожим образом. В знаменателе мы прибавляем к единице, а не наоборот:  tg (α-β)=tg α-tg β1+tg α·tg β

     

    7. Котангенс суммы. Для вычислений по этой формуле нам понадобятся произведение и сумма котангенсов данных углов, с которыми мы поступаем следующим образом: ctg (α+β)=-1+ctg α·ctg βctg α+ctg β

    8. Котангенс разности. Формула схожа с предыдущей, но в числителе и знаменателе – минус, а не плюс ctg (α-β)=-1-ctg α·ctg βctg α-ctg β.

    Вы, наверное, заметили, что эти формулы попарно схожи. При помощи знаков ±(плюс-минус) и (минус-плюс) мы можем сгруппировать их для удобства записи:

    sin (α±β)=sin α·cos β±cos α·sin βcos (α±β)=cos α·cos βsin α·sin βtg (α±β)=tg α±tg β1tg α·tg βctg (α±β)=-1±ctg α·ctg βctg α±ctg β

    Соответственно, мы имеем одну формулу записи для суммы и разности каждого значения, просто в одном случае мы обращаем внимание на верхний знак, в другом – на нижний.

    Определение 2

    Мы можем взять любые углы α и  β, и формулы сложения для косинуса и синуса подойдут для них. Если мы можем правильно определить значения тангенсов и котангенсов этих углов, то формулы сложения для тангенса и котангенса будут также для них справедливы.

    Доказательства формул сложения

    Как и большинство понятий в алгебре, формулы сложения могут быть доказаны. Первая формула, которую мы докажем, - формула косинуса разности. Из нее потом можно легко вывести остальные доказательства.

    Уточним основные понятия. Нам понадобится единичная окружность. Она получится, если мы возьмем некую точку A и повернем вокруг центра (точки O) углы α и β . Тогда угол между векторами OA1 и OA2 будет равняться (α-β)+2π·z или 2π-(α-β)+2π·z (z – любое целое число). Получившиеся вектора образуют угол, который равен α-β или 2π-(α-β), или он может отличаться от этих значений на целое число полных оборотов. Взгляните на рисунок:

    Мы воспользовались формулами приведения и получили следующие результаты:

    cos ((α-β)+2π·z)=cos (α-β)cos (2π-(α-β)+2π·z)=cos (α-β)

    Итог: косинус угла между векторами OA1 и OA2 равняется косинусу угла α-β, следовательно, cos (OA1 OA2) = cos (α-β).

    Далее мы переходим к самому доказательству формулы косинуса разности.

    Вспомним определения синуса и косинуса: синус - функция угла, равная отношению катета противолежащего угла к гипотенузе, косинус – это синус дополнительного угла. Следовательно, точки A1 и A2 имеют координаты (cos α, sin α) и (cos β, sin β).

    Получим следующее:

    OA1=(cos α, sin α) и OA2=(cos β, sin β)

    Если непонятно, взгляните на координаты точек, расположенных в начале и конце векторов.

    Длины векторов равны 1, т.к. у нас единичная окружность.

    Разберем теперь скалярное произведение векторов OA1 и OA2. В координатах оно выглядит так:

    (OA1,OA2) = cos α·cos β+sin α·sin β

    Из этого мы можем вывести равенство:

    cos (α-β) = cos α·cos β+sin α·sin β

    Таким образом, формула косинуса разности доказана.

    Теперь мы докажем следующую формулу – косинуса суммы. Это проще, поскольку мы можем воспользоваться предыдущими расчетами. Возьмем представление α+β=α-(-β). У нас есть:

     cos (α+β)=cos (α-(- β))==cos α·cos (-β)+sin α·sin (-β)==cos α·cos β+sin α·sin β

    Это и есть доказательство формулы косинуса суммы. В последней строчке использовано свойство синуса и косинуса противоположных углов.

    Формулу синуса суммы можно вывести из формулы косинуса разности. Возьмем для этого формулу приведения:

    вида sin (α+β)=cos (π2(α+β)). Так
    sin (α+β)=cos (π2(α+β))=cos ((π2-α)-β)==cos (π2-α)·cosβ+sin (π2-α)·sin β==sin α·cos β+cos α·sin β

    А вот доказательство формулы синуса разности: 

    sin (α-β)=sin (α+(-β))=sin α·cos (-β)+cos α·sin (-β)==sin α·cos β-cos α·sin β
    Обратите внимание на использование свойств синуса и косинуса противоположных углов в последнем вычислении.

    Далее нам нужны доказательства формул сложения для тангенса и котангенса. Вспомним основные определения (тангенс – отношение синуса к косинусу, а котангенс –наоборот) и возьмем уже выведенные заранее формулы. У нас получилось:

    tg (α+β)=sin (α+β)cos (α+β)=sin α·cos β+cos α·sin βcos α·cos β-sin α·sin β

    У нас получилась сложная дробь. Далее нам нужно разделить ее числитель и знаменатель на cos α·cos β, учитывая что cos α0 и cos β0, получаем:
    sin α·cos β+cos α·sin βcos α·cos βcos α·cos β-sin α·sin βcos α·cos β=sin α·cos βcos α·cos β+cos α·sin βcos α·cos βcos α·cos βcos α·cos β-sin α·sin βcos α·cos β

    Теперь сокращаем дроби и получаем формулу следующего вида: sin αcos α+sin βcos β1-sin αcos α·sin βcos β=tg α+tg β1-tg α·tg β.
    У нас получилось tg (α+β) = tg α+tg β1-tg α·tg β. Это и есть доказательство формулы сложения тангенса.

    Следующая формула, которую мы будем доказывать – формула тангенса разности. Все наглядно показано в вычислениях:

    tg (α-β)= tg (α+(-β))=tg α+tg (-β)1-tg α·tg (-β)=tg α-tg β1+tg α·tg β

    Формулы для котангенса доказываются схожим образом:
    ctg (α+β)=cos (α+β)sin (α+β)=cos α·cos β-sin α·sin βsin α·cos β+cos α·sin β==cos α·cos β-sin α·sin βsin α·sin βsin α·cos β+cos α·sin βsin α·sin β=cos α·cos βsin α·sin β-1sin α·cos βsin α·sin β+cos α·sin βsin α·sin β==-1+ctg α·ctg βctg α+ctg β
    Далее:
    ctg (α-β)=ctg(α+(-β))=-1+ctg α·ctg (-β)ctg α+ctg (-β)=-1-ctg α·ctg βctg α-ctg β

    Примеры сложения с помощью тригонометрических формул

    В этом пункте мы рассмотрим, как применить эти сложные на вид вычисления на практике. Их можно использовать:

    - при преобразовании тригонометрических выражений;

    - для вычисления точных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов, которые отличаются от основных (0, π6, π4, π3, π2);

    - для доказательства других тригонометрических формул, например, формулы двойного угла.

    Разберем задачи с использованием формул сложения.

    Пример 1

    Задача: Вычислите точное значение тангенса 15 градусов.

    Решение 

    Для наглядности мы 15 градусов можно представить в виде разности 45-30. В этом случае решение задачи можно получить с помощью формулы тангенса разности. Возьмем формулу, которую мы приводили выше, и укажем в ней имеющиеся нам известные значения: tg15°=tg(45°-30°)=tg45°-tg30°1+tg45°·tg30°

    Вычисляем ответ: tg45°-tg30°1+tg45°·tg30°=1-331+1·33==3-13+1=(3-1)·(3-1)(3+1)·(3-1)=(3)2-23+1(3)2-1=2-3

    Ответ: tg45°=2-3

    Пример 2

    Задача: Выберем формулу сложения для проверки формулы приведения следующего вида:sin (π2+α)=cos α

    Нам подойдет формула синуса суммы. Итого: sin (π2+α)=sin π2·cos α+cos π2·sin α=1·cos α+0·sin α=cos α

    Ответ: sin (π2+α)=cos α - наша формула доказана.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter