Основные формулы с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом, сумма арксинуса и арккосинуса числа, арктангенс от тангенса

Основные формулы с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом

    Формулы с обратными тригонометрическими функциями: arcsin, arccos, arctg и arcctg

    Ранее мы рассматривали обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Как и в случае с другими функциями, между ними существуют связи и зависимости, реализуемые в виде формул, которые можно использовать для решения задач.

    Сейчас мы будем рассматривать основные формулы с использованием этих функций: какие они бывают, на какие группы их можно разделить, как их доказать и как решать задачи с их помощью.

    Формулы котангенса арккотангенса, тангенса арктангенса, синуса арксинуса и косинуса арккосинуса

    Для начала сгруппируем формулы, в которых содержатся основные свойства обратных тригонометрических функций. Мы уже обсуждали и доказывали их ранее, а здесь приведем, чтобы логика объяснения была более понятной и все формулы были в одной статье.

    для α-1, 1  sin(arccis α)=α,   cos(arccos α)=α,для α(-, )  tg(arctg α)=α, ctg(arcctg α)=α

    Указанное в них легко сформулировать из самих определений обратных тригонометрических функций числа. Если вы забыли, как найти, например, тангенс арктангенса, все можно посмотреть в этой формуле.

    Формулы арккотангенса котангенса, арктангенса тангенса и арксинуса синуса и арккосинуса косинуса

    для -π2απ2  arcsin (sin α)=α,для 0απ arccos(cos α)=α,для -π2<α<π2 arctg (tg α)=α,для 0<α<π arcctg (ctg α)=α

    Здесь все также более-менее очевидно, как и в предыдущем пункте: эти формулы можно вывести из определений арксинуса, арккосинуса и др. Единственное, на что нужно обратить пристальное внимание: они будут верны только в том случае, если a (число или угол) будут входить в указанный предел. В противном случае расчет по формуле будет ошибочен, и применять ее нельзя.

    Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел

    В этом блоке мы сформулируем важное утверждение:

    Определение 1

    Обратные тригонометрические функции отрицательного числа можно выразить через арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположного ему положительного числа.

    для α-1, 1  arccis (-α)=-arcsin α,   arccos (-α)=π-arccos α,для α(-, )  arctg (-α)=-arctg α, arcctg (-α)=π-arcctg α

    Таким образом, если в расчетах нам встречаются эти функции для отрицательных чисел, мы можем от них избавиться, преобразовав их в аркфункции положительных чисел, с которыми иметь дело проще.

    Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс

    Они выглядят следующим образом:

    для α-1, 1  arccis α+arccos α=π2,для α(-, )  arctg α+arcctg α=π2

    Из написанного видно, что арксинус некоторого числа можно вывести с помощью его арккосинуса, и наоборот. С арктангенсом и арккотангенсом аналогично – они соотносятся между собой аналогичным образом.

    Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями

    Знать связи между прямыми функциями и их аркфункциями очень важно для решения многих практических задач. Как же быть, если у нас есть необходимость вычислить, к примеру, тангенс арксинуса? Ниже приведен список основных формул для этого, которые полезно выписать себе.

    -1α1,sin (arcsin α)=α -1α1,sin (arccos α)=1-α2 -α+,sin (arctg α)=α1+α2 -α+, sin (arcctg α)=11+α2
    -1α1,cos (arcsin α)=1-α2 -1α1,cos (arccos α)=α -α+,cos (arctg α)=11+α2 -α+, cos (arcctg α)=11+α2
    -1<α<1,tg (arcsin α) =α1-α2 α(-1, 0)(0, 1),tg (arccos α) =1-α2α -α+,tg (arctg α)=α α0 ,tg (arcctg α)=1α
    α(-1, 0)(0, 1),ctg (arcsin α)=1-α2α -1<α<1,ctg (arccos α)=α1-α2 α0,ctg (arctg α)=1α -α+, ctg (arcctg α)=α

    Теперь разберем примеры, как они применяются в задачах.

    Пример 1

    Вычислите косинус арктангенса из 5.

    Решение

    У нас для этого есть подходящая формула следующего вида: cos(arctg α)=11+α2

    Подставляем нужное значение: cos(arctg5)=11+(5)2=26

    Пример 2

    Вычислить синус арккосинуса 12.

    Решение

    Для этого нам понадобится формула: sin (arccos α)=1-a2

    Подставляем в нее значения и получаем: sin (arccos 12)=1-(12)2=32

    Обратите внимание, что непосредственные вычисления приводят к аналогичному ответу: sin(arccos 12)=sin π3=32

    Если вы забыли, как правильно вычислять значения прямых и обратных функций, вы всегда можете вернуться к нашим предыдущим материалам, где мы разбирали это.

    Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса

    Для того, чтобы наглядно вывести полученные формулы, нам понадобятся основные тригонометрические тождества и собственно формулы основных обратных функций - косинуса арккосинуса и др. Мы их уже выводили ранее, поэтому тратить время на их доказательства не будем. Начнем сразу с формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса. Используя тождество, получим:

    sin2α+cos2α=11+ctg2α=1sin2α

    Вспомним, что tgα·ctgα=1. Из этого можно получить:

    sinα=1-cos2α, 0απ sinα=tgα1+tg2α, -π2<α<π2sinα=11+ctg2α, 0<α<π

    У нас получилось, что мы выразили синус через необходимые аркфункции при заданном условии.

    Теперь в первой формуле вместо a мы добавим arccos a. Итог - формула синуса арккосинуса.

    Далее во вторую вместо a ставим arctg a. Это формула синуса арктангенса.

    Аналогично с третьей – если мы добавим в нее arcctg a, будет формула синуса арктангенса.

    Все наши расчеты можно сформулировать более емко:

    1. sinα=1-cos2α, 0απ

    Следовательно, sin(arccosα)=1-cos2(arccosα)=1-a2

    1. sinα=tgα1+tgα, -π2<α<π2,

    Следовательно, sin(arctgα)=tg(arctgα)1+tg2(arctgα)=α1+α2

    1. sinα=11+ctg2α, 0<α<π

    Следовательно, sin(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2

    Выводим формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса.

    Их мы выведем по имеющемуся шаблону:

    1. Из cosα=1-sin2α, -π2απ2 следует, что

    cos(arcsin α)=1-sin2(arcsin α)=1-a2

    1. Из cosα=11+tg2α, -π2<α<π2 следует, что
    2. Из cosα=ctgα1+ctg2α, 0<α<πcos(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2

    следует, что cos(arctgα)=ctg(arcctgα)1+ctg2(arcctgα)=α1+α2

    Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса

    1. Исходим из tgα=sin α1-sin2α, -π2<α<π2. Получаем tg(arcsin α)=sin(arcsinα)1-sin2(arcsinα)=α1-α2 при условии, что -1<α<1.
    2. Исходим из tgα=1-cos2αcosα, α[0, π2)(π2, π], получаем

    tg(arccosα)=1-cos2(arccosα)cos(arccosα)=1-α2α при условии α(-1, 0)(0, 1).

    1. Исходим из tgα=1ctgα, α(0, π2)(π2, π), получаем tg(arcctgα)=1ctg(arcctgα)=1α при условии, что α0.

    Теперь нам нужны формулы котангенсов арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Вспомним одно из тригонометрических равенств:

    ctgα=1tgα

    Используя его, мы можем сами вывести необходимые формулы, используя формулы тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса. Для этого понадобится поменять в них местами числитель и знаменатель.

    Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее

    Мы связали между собой прямые и обратные тригонометрические функции. Полученные формулы дадут нам возможность связать и одни обратные функции с другими, то есть выразить одни аркфункции через другие аркфункции. Разберем примеры.

    Здесь мы можем заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно, и получить искомую формулу:

    arcsinα=arccos1-α2, 0α1-arccos1-a2, -1α<0arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1arcsinα=arcctg1-α2α, 0<α1arcctg1-α2α-π, -1α0

    А так мы выразим арккосинус через остальные обратные функции:

    arccosα=arcsin1-α2, 0α1π-arcsin1-α2, -1α<0arccosα=arctg1-α2α, 0<α1π+arctg1-α2α, -1<α<0arccosα=arcctgα1-α2, -1<α<1

    Формула выражения арктангенса:

    arctgα=arcsinα1+α2, -<α<+arctgα=arccos11+α2, α0-arccos11+α2, α<0arctgα=arcctg1α, α0

    Последняя часть – выражение арккотангенса через другие обратные функции:

    arcctgα=arcsin11+α2, α0π-arcsin11+α2, α<0arcctgα=arccosα1+α2, -<α<+arcctgα=arctg1α, α0

    Теперь попробуем доказать их, опираясь на основные определения обратных функций и ранее выведенных формул.

    Возьмём arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1 и постараемся вывести доказательство.

    Мы знаем, что arctgα1-α2 - это число, величина которого составляет от минус половины пи до плюс половины пи. Из формулы синуса арктангенса получим:

    sin(arctgα1-α2)=α1-α21+(α1-α2)2=α1-α21+α21-α2=α1-α21+α21-α2=α1-α211-α2=α

    Получается, что arctgα1-α2 при условии 1<a<1 – это и есть арксинус числа a.

    Вывод: arcsina=arctga1-a2, -1<a<1

    Прочие формулы доказываются по аналогии.

    В завершение разберем один пример применения формул на практике.

    Пример 3

    Условие Вычислить синус арккотангенса минус корня из 3.

    Решение

    Нам понадобится формула выражения арккотангенса через арксинус: arcctgα=arcsin11+a2, α0π-arcsin 11+a2, α<0
    Подставим в нее α=-3 и получим ответ – 12. Непосредственное вычисление дало бы нам те же результаты: sin(arcctg(-3))=sin5π6=12 Для решения задачи можно взять и другую формулу, выражающую синус через котангенс: sinα=11+ctg2α, 0<α<π

    В итоге у нас бы вышло: sin(arcctg(-3))=11+ctg2(arcctg(-3))=11+(-3)2=12

    Или возьмем формулу синуса арккотангенса и получим тот же ответ: sin(arcctgα)=11+α2  sin(arcctg(-3))=11+(-3)2=12

    Прочие формулы с обратными функциями

    Мы рассмотрели самые основные формулы, которые понадобятся вам при решении задач. Однако это не все формулы с аркфункциями: есть и ряд других, специфичных, которые употребляются нечасто, но все же их знание может быть полезно. Запоминать их особого смысла нет: проще вывести их тогда, когда они нужны.

    Разберем одну из них, называемую формулой половинного угла. Она выглядит следующим образом:

    sin2α2=1-cosα2

    Если угол альфа при этом больше нуля, но меньше числа пи, то у нас выходит:

    sinα2=1-cosα2

    Учитывая данное условие, заменяем упомянутый угол на arccos. В итоге наша предварительная формула выглядит так:

    sinarccosα2=1-cos(arccosα)2sinarccosα2=1-α2

    Отсюда мы выводим итоговую формулу, в которой арксинус выведен через арккосинус:

    arccosα2=arcsin1-α2

    Мы перечислили не все связи, которые имеются между обратными тригонометрическими функциями, а лишь наиболее употребляемые из них. Важно подчеркнуть, что ценность имеют не столько сами сложные формулы, что мы привели в статье: заучивать их наизусть не нужно. Гораздо важнее уметь самому делать нужные преобразования, и тогда сложные вычисления не потребуется хранить в голове.

    В продолжение темы в следующей статье мы рассмотрим преобразование выражений с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,2 из 5 (9 голосов)