Сумма и разность синусов (sin) и косинусов (cos): вывод формул, примеры, объяснение
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Сумма и разность синусов и косинусов: вывод формул, примеры

    Формулы суммы и разности синусов и косинусов для двух углов α и β позволяют перейти от суммы указанных углов к произведению углов α+β2 и α-β2. Сразу отметим, что не стоит путать формулы суммы и разности синусов и косинусов с формулами синусов и косинусов суммы и разности. Ниже мы перечислим эти формулы, приведем их вывод и покажем примеры применения для конкретных задач.

    Формулы суммы и разности синусов и косинусов

    Запишем, как выглядят формулы суммы и разности для синусов и для косинусов

    Формулы суммы и разности для синусов

    sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2sinα-sinβ=2sinα-β2cosα+β2

    Формулы суммы и разности для косинусов

    cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2cosα-cosβ=-2sinα+β2cosα-β2, cosα-cosβ=2sinα+β2·β-α2

    Данные формулы справедливы для любых углов α и β. Углы α+β2 и α-β2 называются соответственно полусуммой и полуразностью углов альфа и бета. Дадим формулировку для каждой формулы.

    Определения формул сумм и разности синусов и косинусов

    Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

    Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус полусуммы.

    Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы и косинуса полуразности этих углов.

    Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности этих углов, взятому с отрицательным знаком.

    Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов

    Для вывода формул суммы и разности синуса и косинуса двух углов используются формулы сложения. Приведем их ниже

    sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβsin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβcos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

    Также представим сами углы в виде суммы полусумм и полуразностей.

    α=α+β2+α-β2=α2+β2+α2-β2β=α+β2-α-β2=α2+β2-α2+β2

    Переходим непосредственно к выводу формул суммы и разности для sin и cos.

    Вывод формулы суммы синусов

    В сумме  sinα+sinβ заменим α и β на выражения для этих углов, приведенные выше. Получим

    sinα+sinβ=sinα+β2+α-β2+sinα+β2-α-β2

    Теперь к первому выражению применяем формулу сложения, а ко второму - формулу синуса разностей углов (см. формулы выше)

    sinα+β2+α-β2=sinα+β2cosα-β2+cosα+β2sinα-β2sinα+β2-α-β2=sinα+β2cosα-β2-cosα+β2sinα-β2sinα+β2+α-β2+sinα+β2-α-β2=sinα+β2cosα-β2+cosα+β2sinα-β2+sinα+β2cosα-β2-cosα+β2sinα-β2Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим искомую формулу

    sinα+β2cosα-β2+cosα+β2sinα-β2+sinα+β2cosα-β2-cosα+β2sinα-β2==2sinα+β2cosα-β2

    Действия по выводу остальных формул аналогичны. 

    Вывод формулы разности синусов

    sinα-sinβ=sinα+β2+α-β2-sinα+β2-α-β2sinα+β2+α-β2-sinα+β2-α-β2=sinα+β2cosα-β2+cosα+β2sinα-β2-sinα+β2cosα-β2-cosα+β2sinα-β2==2sinα-β2cosα+β2

    Вывод формулы суммы косинусов

    cosα+cosβ=cosα+β2+α-β2+cosα+β2-α-β2cosα+β2+α-β2+cosα+β2-α-β2=cosα+β2cosα-β2-sinα+β2sinα-β2+cosα+β2cosα-β2+sinα+β2sinα-β2==2cosα+β2cosα-β2

    Вывод формулы разности косинусов

    cosα-cosβ=cosα+β2+α-β2-cosα+β2-α-β2cosα+β2+α-β2-cosα+β2-α-β2=cosα+β2cosα-β2-sinα+β2sinα-β2-cosα+β2cosα-β2+sinα+β2sinα-β2==-2sinα+β2sinα-β2

    Примеры решения практических задач

    Для начала, сделаем проверку одной из формул, подставив в нее конкретные значения углов. Пусть α=π2, β=π6. Вычислим значение суммы синусов этих углов. Сначала воспользуемся таблицей основных значений тригонометрических функций, а затем применим формулу для суммы синусов.

    Пример 1. Проверка формулы суммы синусов двух углов

    α=π2, β=π6sinπ2+sinπ6=1+12=32sinπ2+sinπ6=2sinπ2+π62cosπ2-π62=2sinπ3cosπ6=2·32·32=32

    Рассмотрим теперь случай, когда значения углов отличаются от основных значений, представленных в таблице. Пусть α=165°, β=75°. Вычислим значение разности синусов этих углов.

    Пример 2. Применение формулы разности синусов

    α=165°, β=75°sinα-sinβ=sin165°-sin75°sin165-sin75=2·sin165°-sin75°2cos165°+sin75°2==2·sin45°·cos120°=2·22·-12=22

    С помощью формул суммы и разности синусов и косинусов можно перейти от суммы или разности к произведению тригонометрических функций. Часто эти формулы называют формулами перехода от суммы к произведению. Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и при преобразовании тригонометрических выражений.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    5,0 из 5 (12 голосов)