Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа: основные свойства

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа: основные свойства

    Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс - обратные тригонометрические функции. Они обладают рядом свойств, которые мы рассмотрим в этой статье. Помимо словесных и математических формулировок основных свойств арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, будут приведены доказательства этих свойств.

    Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса

    Это свойство используется чаще всего, поэтому логичнее всего начать рассмотрение всех основных свойств именно с него. Рассмотрим, чему равны синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа.

    Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа
    • sinarcsin a=a, a1; -1;
    • cosarccos a=a, a1; -1;
    • tg(arctg a)=a, a-; +;
    • ctg(arcctg a)=a, a-; +.

    Данное свойство следует напрямую из определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. 

    Рассмотрим доказательство на примере арксинуса. Согласно определению, арксинус числа  - это такой угол или число, синус которого равен числу a. При этом число a лежит в пределах от -1 до +1 включительно. В виде формулы определение запишется так: 

    sin(arcsin a)=a

    Доказательство для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса строится аналогично, на базе определений этих функций. Вот несколько примеров использования данного свойства.

    Пример 1. Свойства обратных тригонометрических функций

    sin(arcsin(0,3)=0,3cosarccos-32=-32tg(arctg(8))=8ctg(arcctg(1589))=1589

    Важно отметить, что для обратных функций синуса и косинуса имеет место ограничение для значений числа a. Так, при a, лежащем вне пределов отрезка -1, 1, арксинус и арккосинус не определены и записи arcsin a и arccos a попросту не имеют смысла. Это связано с тем, что область значений синуса и косинуса - от минус единицы до плюс единицы. Например, нельзя записать cos(arccos(9)), так как 9 больше 1 и данное выражение не имеет смысла. Делать подобные записи - ошибочно!

    Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположных чисел

    Существует связь между арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами противоположных чисел. Запишем соотношения, выражающие ее.

    arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел
    • arcsin-a=-arcsin a, a-1, 1;
    • arccos-a=π-arccos a, a-1, 1;
    • arctg-a=-arctg a, a-, +;
    • arcctg-a=π-arcctg a, a-, +.

    Докажем записанное. Начнем, как всегда, с доказательства для арксинусов. При -1a1 имеет место равенство arcsin-a=-arcsin a. Согласно дефиниции, arcsin(-a) - это угол (число) в пределах от -π2 до π2, синус которого равен -a. Для доказательства справедливости первого равенства необходимо доказать, что -arcsin a лежит в тех же пределах от -π2 до π2, что и arcsin(-a). Также необходимо обосновать, что sin(-arcsin a)=-a.

    Для арксинуса, по определению, справедливо двойное неравенство -π2arcsin aπ2. Умножим каждую часть неравенства на -1 и получим эквивалентное неравенство π2-arcsin a-π2. Переписав его, получим -π2-arcsin aπ2.

    Переходим ко второй части доказательства. Теперь осталось показать, что sin(-arcsin a)=-a. Для этого воспользуемся свойством синусов противоположных углов и запишем: sin-arcsin a=-sinarcsin a. С учетом свойства арксинуса, рассмотренного в предыдущем пункте, закончим доказательство.

    sin-arcsin a=-sinarcsin a=-a

    Доказательство свойства арксинусов противоположных чисел завершено.

    Теперь рассмотрим доказательство свойства арккосинусов противоположных чисел.

    Для того, чтобы доказать, что arccos-a=π-arccos a при a-1, 1 необходимо во-первых показать, что число undefined. 

    Для арккосинуса, по определению, справедливо двойное неравенство 0arccos aπ. Умножив каждую часть неравенства на  - 1 и поменяв знаки, получим эквивалентное неравенство 0-arccos a-π. Перепишем его в другом виде. По свойствам неравенств, можно добавить к каждой части слагаемое, не меняя знаков. Добавим в каждую часть неравенства слагаемое π. Получим ππ-arccos a0, или 0π-arccos aπ.

    Теперь покажем, что cosπ-arccos a=-a. Для этого воспользуемся формулами приведения, согласно которым можно записать cosπ-arccos a=-cos(arccos a). Обратившись к свойству арккосинуса, разобранному ранее (см. 1 пункт), заканчиваем доказательство.

    cosπ-arccos a=-cos(arccos a)=-a.

    Доказательства для арктангенса и арккотангенса проводится по аналогичному принципу.

    Основная польза данного свойства - возможность избавиться от операций с отрицательными числами при работе с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами. Например, справедливы записи:

    arcsin-12=-arcsin12arccos-557=π-arccos557arctg-1=-arctg1arcctg(-3)=π-arcctg3

    Сумма арксинуса и арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

    Данное свойство устанавливает связь соответственно между арксинусом и арккосинусам, арктангенсом и арккотангенсом. Запишем формулы для арксинуса и арккосинуса. 

    Сумма arcsin и arccos

    arcsin a+arccos a=π2, a-1, 1

    Соответственно, для арктангенса и арккотангенса

    Сумма arctg и arcctg

    arctg a+arcctg a=π2, a-, +

    Приведем доказательство для арксинуса и арккосинуса. Формулу для суммы arcsin и arccos можно переписать в виде arcsin a=π2-arccos a.  Теперь обратимся к определению, согласно которому арксинус - это число (угол), лежащее в пределах от -π2 до π2, синус которого равен a

    Запишем неравенство, вытекающее из определения арккосинуса: 0arccos aπ. Умножим все его части на -1, а затем прибавим к каждой части π2. Получим:

    0arccos aπ0-arccos a-ππ2π2-arccos a-π2-π2π2-arccos aπ2

    Завершая доказательство, покажем, что sinπ2-arccos a=a. Для этого используем формулу приведения и свойство косинуса от арккосинуса. 

    sinπ2-arccos a=cosarccos a=a

    Таким образом, доказано, что сумма арксинуса и арккосинуса равна π2. По такому же принципу проводится доказательство для суммы арктангенса и арккотангенса. 

    Пользуясь разобранными свойствами, можно выряжать арксинус через арккосинус, арккосинус через арксинус, арктангенс через арккотангенс и наоборот.

    Пример 2. Сумма арксинуса и арккосинуса

    Известно, что arcsin6-22=π12. Найдем арккосинус этого числа.

    arcsin6-22+arccos6-22=π2arccos6-22=π2-arcsin6-22arccos6-22=π2-π12=5π12

    Арксинус синуса, арккосинус косинуса, арктангенс тангенса и арккотангенс котангенса

    Запишем соотношения, иллюстрирующие свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.

    Свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса
    • arcsin(sin α)=α, -π2απ2;
    • arccos(cos α)=α, 0απ;
    • arctg(tg α)=α, -π2απ2;
    • arcctg(ctg α)=α, 0απ.

    Данные равенства и неравенства являются прямым следствием определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Покажем это, доказав, что arcsin(sin α)=α при -π2απ2.

    Обозначим sinα через aa - число, лежащее в интервале от -1 до +1. Тогда равенство arcsin(sin α)=α можно переписать в виде arcsin a=α. Данное равенство, при заданных условиях, аналогично определению синуса. Таким образом, мы доказали, что arcsin(sin α)=α при -π2απ2.

    Важно помнить!

    Выражение arcsin(sin α) имеет смысл не только при α, лежащем в пределах от -π2 до π2. Однако, равенство arcsin(sin α)=α выполняется только при соблюдении условия -π2απ2.

    Аналогично, соблюдение условий обязательно для арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.

    К примеру, запись arcsin(sin8π3)=8π3 будет ошибочной, так как число 8π3 не удовлетворяет условиям неравенства.

    Описанные в этой статье свойства позволяют получить ряд полезных формул, определяющих связи между основными и обратными тригонометрическими функциями. Соотношениям, связывающим sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg и arcctg будет посвящена отдельная статья.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,5 из 5 (12 голосов)