Нахождение вектора, перпендикулярного данному вектору, примеры и решения, условие перпендикулярности векторов

Нахождение вектора, перпендикулярного данному вектору, примеры и решения

    Данная статья раскрывает смысл перпендикулярности двух векторов на плоскости в трехмерном пространстве и нахождение координат вектора, перпендикулярному одному или целой паре векторов. Тема применима для задач, связанных с уравнениями прямых и плоскостей.

    Мы рассмотрим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов, решим по методу нахождения вектора, перпендикулярному заданному, затронем ситуации по отысканию вектора, который перпендикулярен двум векторам.

    Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

    Применим правило о перпендикулярных векторах на плоскости и в трехмерном пространстве.

    Определение 1

    При условии значения угла между двумя ненулевыми векторами равным 90°( π2 радиан) называют перпендикулярными.

    Что это значит, и в каких ситуациях необходимо знать про их перпендикулярность?

    Установление перпендикулярности возможно через чертеж. При отложении вектора на плоскости от заданных точек можно геометрически измерить угол между ними. Перпендикулярность векторов если и будет установлена, то не совсем точно. Чаще всего данные задачи не позволяют делать это при помощи транспортира, поэтому данный метод применим только в случае, когда ничего больше о векторах неизвестно.

    Большинство случаев доказательства перпендикулярности двух ненулевых векторов на плоскости или в пространстве производится с помощью необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов.

    Теорема 1

    Скалярное произведение двух ненулевых векторов a и b равном нулю для выполнения равенства a, b=0 достаточно для их перпендикулярности.

    Доказательство 1

    Пусть заданные векторы a и b перпендикулярны, тогда выполним доказательство равенства a, b=0.

    Из определения про скалярное произведение векторов мы знаем, что оно равняется произведению длин заданных векторов на косинус угла между ними. По условию a и b перпендикулярны, а, значит, исходя из определения, угол между ними 90°. Тогда имеем a, b=a·b·cos(a, b^)=a·b·cos90°=0.

    Вторая часть доказательства

    При условии, когда a, b=0 доказать перпендикулярность a и b.

    По сути доказательство является обратным предыдущему. Известно, что a и b ненулевые, значит, из равенстваa, b=a·b·cos(a, b)^ найдем косинус. Тогда получим cos(a, b)^=(a,b)a·b=0a·b=0. Так как косинус равен нулю, можем сделать вывод, что угол a, b^ векторов a и b равен  90°. По определению это и есть необходимое и достаточное свойство.

    Условие перпендикулярности на координатной плоскости

    Раздел скалярного произведения в координатах демонстрирует неравенство (a, b)=ax·bx+ay·by, справедливое для векторов с координатами a=(ax, ay) и b=(bx, by), на плоскости и (a,b)=ax·bx+ay·by для векторов a=(ax, ay, az) и b=(bx, by, bz) в пространстве. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов в координатной плоскости имеет вид ax·bx+ay·by=0, для трехмерного пространства ax·bx+ay·by+az·bz=0.

    Применим на практике и рассмотрим на примерах.

    Пример 1

    Проверить свойство перпендикулярности двух векторов a=(2, -3),  b=(-6, -4).

    Решение

    Для решения данной задачи необходимо найти скалярное произведение. Если по условию оно будет равным нулю, значит, они перпендикулярны.

    (a, b)=ax·bx+ay·by=2·(-6)+(-3)·(-4)=0. Условие выполнено, значит, заданные векторы перпендикулярны на плоскости.

    Ответ: да, заданные векторы a и b перпендикулярны.

    Пример 2

    Даны координатные векторы i, j, k. Проверить, могут ли векторы i-j и i+2·j+2·k быть перпендикулярными.

    Решение

    Для того, чтобы вспомнить, как определяются координаты вектора, нужно прочитать статью про координаты вектора в прямоугольной системе координат. Таким образом получаем, что у заданных векторов i-j и i+2·j+2·k имеются соответствующие координаты (1,-1, 0) и (1, 2, 2). Подставляем числовые значения и получаем: i+2·j+2·k, i-j=1·1+(-1)·2+0·2=-1.

    Выражение не равно нулю, (i+2·j+2·k, i-j)0, а это означает, что векторы i-j и i+2·j+2·k не перпендикулярны, так как условие не выполнилось.

    Ответ: нет, векторы i-j и i+2·j+2·k  не перпендикулярны.

    Пример 3

    Даны векторы a=(1,0,-2) и b=(λ, 5, 1). Найти значение λ, при котором данные векторы перпендикулярны.

    Решение

    Используем условие перпендикулярности двух векторов в пространстве в квадратной форме, тогда получим

    ax·bx+ay·by+az·bz=0 1·λ+0·5+(-2)·1=0 λ=2

     Ответ: векторы перпендикулярны при значении λ=2.

    Имеются случаи, когда вопрос о перпендикулярности невозможен даже при необходимом и достаточном условии. При известных данных о трех сторонах треугольника на двух векторах, возможно, найти угол между векторами и проверить его.

    Пример 4

    Дан треугольник АВС со сторонами АВ=8, АС=6, ВС=10 см. проверить на перпендикулярность векторы AB и AC.

    Решение

    При перпендикулярности векторов AB и AC треугольник ABC считается прямоугольным. Тогда применим теорему Пифагора, где ВС – гипотенуза треугольника. Равенство BC2=AB2+AC2 должно выполниться. Отсюда следует, что 102=82+62100=100. Значит, АВ и АС являются катетами треугольника АВС, следовательно, AB и AC перпендикулярны.

    Нахождение вектора, перпендикулярного данному

    Важно научиться находить координаты вектора, перпендикулярного заданному. Это возможно как на плоскости, так и в пространстве при условии перпендикулярности векторов.

    Нахождение вектора, перпендикулярного данному в плоскости.

    Ненулевой вектор a может иметь бесконечное количество перпендикулярных векторов на плоскости. Изобразим это на координатной прямой.

    Задан ненулевой вектор a, лежащий на прямой а. Тогда заданный b, расположенный на любой прямой, перпендикулярной прямой а, становится перпендикулярным иa. Если вектору i перпендикулярен вектор j или любой из векторов λ·jпри λ равной любому действительному числу кроме нуля, то нахождение координат вектора b, перпендикулярному a=(ax, ay), сводится к бесконечному множеству решений. Но необходимо найти координаты вектора, перпендикулярного a=(ax, ay). Для этого необходимо записать условие перпендикулярности векторов в такой форме ax·bx+ay·by=0. Имеем bx и by , являющиеся искомыми координатами перпендикулярного вектора. Когда ax0, значение by является ненулевым, а bx вычислим из неравенства ax·bx+ay·by=0 bx=-ay·byax. При ax=0 и ay0 присваиваем bx любое значение кроме нуля, а by находим из выражения by=-ax·bxay.

    Пример 5

    Дан вектор с координатами a=(-2, 2). Найти перпендикулярный данному вектор.

    Решение

     Обозначим искомый вектор как b(bx, by). Найти его координаты можно из условия перпендикулярности векторов a и b. Тогда получим: (a, b)=ax·bx+ay·by=-2·bx+2·by=0. Присвоим by=1 и подставим: -2·bx+2·by=0-2·bx+2=0. Отсюда из формулы получим bx=-2-2=12. Значит, вектор b=(12, 1) является вектором, перпендикулярным a.

    Ответ: b=(12, 1).

    Если ставится вопрос о трехмерном пространстве, задача решается по такому же принципу. При заданном векторе a=(ax, ay, az) существует бесконечное множество перпендикулярных векторов. Зафиксирует это на координатной трехмерной плоскости. Дана a , лежащая на прямой a. Перпендикулярную прямой a плоскость обозначаем α. В этом случае любой ненулевой вектор b из плоскости α перпендикулярен a.

    Необходимо найти координаты b, перпендикулярного ненулевому вектору a=(ax, ay, az).

    Пусть задан b с координатами bx, by и bz. Чтобы найти их, необходимо применить определение условия перпендикулярности двух векторов. Равенство ax·bx+ay·by+az·bz=0 должно выполняться. Из условия a - ненулевой, значит, одна из координат имеет значение не равное нулю. Предположим, что ax0, ( ay0 или az0). Следовательно, имеем право разделить на эту координату все неравенство ax·bx+ay·by+az·bz=0, получим выражениеbx+ay·by+az·bzax=0bx=-ay·by+az·bzax. Присваиваем координатам by и bx любое значение, вычисляем значение bx, исходя из формулы, bx=-ay·by+az·bzax. Искомый перпендикулярный вектор будет иметь значение a=(ax, ay, az).

    Рассмотрим доказательство на примере.

    Пример 6

    Дан вектор с координатами a=(1, 2, 3). Найти вектор, перпендикулярный данному.

    Решение

    Обозначим искомый вектор за b=(bx, by, bz). Исходя из условия о перпендикулярности векторов, скалярное произведение должно быть равным нулю.

    a, b=0ax·bx+ay·by+az·bz=01·bx+2·by+3·bz=0bx=-(2·by+3·bz)

    Если значение by=1, bz=1, тогда bx=-2·by-3·bz=-(2·1+3·1)=-5. Отсюда следует, что координаты вектора b(-5, 1, 1). Вектор b является одним из перпендикулярных векторов заданному.

    Ответ: b=(-5, 1, 1).

    Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам

    Нужно найти координаты вектора в трехмерном пространстве. Он перпендикулярен не коллинеаренным векторамa(ax, ay, az) и b=(bx, by, bz). При условии коллинеарности векторов a и b в задаче достаточно будет найти вектор, перпендикулярный a или b.

    При решении применяется понятие векторного произведения векторов.

    Векторным произведением векторов a и b называют вектор, одновременно перпендикулярный и a и b. Для решения данной задачи применяется векторное произведение a×b. Для трехмерного пространства имеет вид a×b=ajkaxayazbxbybz

    Разберем подробнее векторное произведение на примере задачи.

    Пример 7

    Заданы векторы b=(0, 2, 3) и a=(2, 1, 0). Найти координаты любого перпендикулярного вектора данным одновременно.

    Решение

    Для решения необходимо найти векторное произведение векторов. (Необходимо обратиться к пункту вычисления определителя матрицы для нахождения вектора). Получим :

    a×b=ijk210023=i·1·3+j·0·0+k·2·2-k·1·0-j·2·3-i·0·2=3·i+(-6)·j+4·k

    Ответ: (3, -6, 4) - координаты вектора, одновременно перпендикулярного заданным a и b.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,3 из 5 (7 голосов)