Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.

В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.

Рассмотрим подробно каждый случай.

Определение 1

Приближенное число для каждой из известных функций можно найти по определению. Для одних можно указать точные значения, для других – только приблизительные.

Соотношения сторон и углов фигуры используются для того, чтобы определить значения для $30 °, 45 °, 60 °$ . Если угол выходит за пределы $90 °$ , то перед вычислением значения следует воспользоваться специальной формулой для того, чтобы привести угол к нужному виду.

Если известно значение синуса для $α$ , можно быстро узнать значение косинуса для этого же угла. Это легко выполнить с помощью основных тождеств, которые представлены в геометрии.

В некоторых случаях для того, чтобы узнать $\sin$ или $\cos$ угла, можно использовать подходящую тригонометрическую формулу. Например, по известному значению синуса $45 °$ , мы сможем определить значение синуса $30 °$ , воспользовавшись правилом из тригонометрии.

Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.

Если взять за основу определения, возможно определить значения для определенного угла $α$ . Также можно вычислить значения тангенса и котангенса для определенного случая. Можно найти значений основных функций из тригонометрии для частных вариантов. Это углы $0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °$ .

Разобьем эти углы на четыре группы: $360 \cdot z$ градусов ( $2 π \cdot z$ рад), $90 + 360 \cdot z$ градусов ( $\frac{π}{2} + 2 π \cdot z$ рад), $180 + 360 \cdot z$ градусов ( $π + 2 π \cdot z$ рад) и $270 + 360 \cdot z$ градусов ( $\frac{3 π}{2} + 2 π \cdot z$ рад), где $z$ - любое целое число.

Изобразим данные формулы на рисунке:

Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Для каждой группы соответствуют свои значения.

Пример 1

При повороте из точки $A$ на $360 \cdot z °$ , она переходит в себя. $А_{1} (1, 0)$ . Синус $0 °, 360 °, 720 °$ равен $0$ , а косинус равен $1$ . Представим это в виде формулы: $\sin (360 ° \cdot z) = 0$ и $\cos (360 ° \cdot z) = 1$ .

Можно определить, что $t g (360 ° \cdot z) = \frac{0}{1} = 0$ , а котангенс не определен.

Пример 2

Если $А (1, 0)$ повернуть на $90 + 360 \cdot z °$ , то она перейдет в $А_{1} (0, 1)$ . По определению: $\sin (90 ° + 360 ° \cdot z) = 1$ и $\cos (90 ° + 360 ° \cdot z) = 0$ . Мы не сможем определить значение тангенса, но котангенс рассчитывается по данной формуле: $c t g (90 ° + 360 ° \cdot z) = \frac{0}{1} = 0$ .

Пример 3

Рассмотрим особенности для третьей группы углов. После поворота точки $А (1, 0)$ на любой из углов $180 + 360 \cdot z °$ , она перейдет в $A_{1} (- 1, 0)$ . Мы находим значения функций кроме тангенса.

Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса — Пример 4

Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.

Линии тригонометрических функций

Определение 2

Линии тригонометрических функций – это линии, которые изображаются вместе с единичной окружностью. Они имеют точку отсчета и единичный отрезок, которая равна единице в координатной системе. Они используются для наглядного изображения значений.

Рассмотрим их на подробном рисунке

Линии тригонометрических функций

Как найти $\sin α, \cos α, t g α, c t g α$

Для тридцати-, сорокопяти-, шестидесятиградусных углов мы имеем определенные значения. Чтобы найти их, можно воспользоваться правилами о прямоугольном треугольнике с острыми углами. Для этого используется теорема Пифагора.

Пример 5

Для того, чтобы узнать значения для углов тридцати- и шестидесятиградусных углов изображаем прямоугольный треугольник с углами данной величины. Длина гипотенузы должна быть равна $1$ . Согласно теореме Пифагора, катет, лежащий напротив тридцатиградусного угла, равен половине гипотенузы. Воспользуемся теоремой: $\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Так как синус угла – это катет, деленный на гипотенузу, вычисляем, что $\sin 30 ° = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}$ и $\sin 60 ° = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Косинус можно найти по формуле, которая предполагает деление прилежащего катета на гипотенузу. Вычисляем: $\cos 30 ° = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos 60 ° = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}$ .

Тангенс можно найти по формуле, которая предполагает деление противолежащего катета на прилежащий. Котангенс находим по такой же схеме – делим прилежащий катет на противолежащий.

Вычисляем: $t g 30 ° = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $t g 60 ° = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$ . Находим котангенс по подобной схеме: $с t g 30 ° = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$ и $с t g 60 ° = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ . После этого приступаем к вычислению значений основных тригонометрических функций для сорока пятиградусного угла. Используем равнобедренный треугольник с углами $45 °$ и гипотенузой, которая равна $1$ . Используем теорему Пифагора. Согласно формуле, длины катетов равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Т

Теперь мы сможем найти значения для основных тригонометрических функций. Используем формулу, которая предполагает деление длин соответствующих сторон рассматриваемого треугольника.

Выводим формулу: $c t g 45 ° = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$ .

Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.

Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.

Линии тригонометрических функций

Значения основных функций тригонометрии

Основные тождества из геометрии связывают с собой $\sin α, \cos α, t g α, c t g α$ для определенного угла. С помощью одной функции вы легко сможете найти другую.

Определение 3

Для того, чтобы найти синус по известному косинусу, $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Определение 4

Тангенс по известному косинусу $t g^{2} α + 1 = \frac{1}{\cos^{2} α}$ .

Определение 5

Котангенс по известному синусу или наоборот $1 + c t g^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α}$ .

Определение 6

Тангенс через котангенс или наоборот можно найти благодаря удобной формуле: $t g α \cdot c t g α = 1$ .

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере

Пример 6

Необходимо найти значение синуса угла $\frac{π}{8}$ , если $t g \frac{π}{8} = \sqrt{2} - 1$ .

Сначала найдем котангенс угла: $c t g \frac{π}{8} = \frac{1}{t g \frac{π}{8}} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^{2} - 1^{2}} = \sqrt{2} + 1$ Воспользуемся формулой $1 + c t g^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α}$ . Благодаря этому мы вычисляем значение синуса. Имеем
$\sin^{2} \frac{π}{8} = \frac{1}{1 + c t g^{2} \frac{π}{8}} = \frac{1}{1 + (\sqrt{2} + 1)^{2}} = \frac{1}{4 + 2 \sqrt{2}} = \frac{1}{2 \cdot (2 + \sqrt{2})} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot (2 + \sqrt{2}) \cdot (2 - \sqrt{2)}} = = \frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot (2^{2} - (\sqrt{2})^{2})} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

Для завершения необходимо определить значение синуса. Угол $\frac{π}{8}$ является углом первой четверти, то синус является положительным. Чтобы точно определить знак, вы можете воспользоваться таблицей, в которой определены знаки по четвертям координатной плоскости. Таким образом, $\sin \frac{π}{8} = \sqrt{\sin^{2} \frac{π}{8}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ . $\sin \frac{π}{8} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Сведение к углу

Удобнее всего находить значения для угла от $0$ до $90 °$ . Сведение к углу из интервала от $0$ до $90 °$ . Если угол не соответствует заданному интервалу, можно использовать законы и тождества, которые мы учили на уроках геометрии. Тогда мы сможем найти значение, которое будет равно для угла указанных пределах.

Пример 7

Задача заключается в том, чтобы найти синус $210 °$ . Представим $210$ как разность или сумму, разложив число на несколько. Воспользуемся соответствующей формулой для приведения. Используем формулу для нахождения значения синуса $30 °$ : $\sin 210 ° = \sin (180 ° + 30 °) = - \sin 30 ° = - \frac{1}{2}$ , или косинуса $60 °$ $\sin 210 ° = \sin (270 ° - 60 °) = - \cos 60 ° = - \frac{1}{2}$ .

Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от $0$ до $90 °$ с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.

Использование формул

Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.

Для примера вычислим значение тангенса $\frac{π}{8}$ , который был использован в предыдущем примере. Возьмем за основу основные формулы тригонометрии.

Пример 8

Найдите значение $t g \frac{π}{8}$ .

Используя формулу тангенса, преобразуем уравнение до следующего равенства $t g^{2} \frac{π}{8} = \frac{1 - \cos \frac{π}{4}}{1 + \cos \frac{π}{4}}$ . Значения косинуса угла $\frac{π}{4}$ известны из предыдущего примера. Благодаря этому мы быстро найдем значения тангенса.
$t g^{2} \frac{π}{8} = \frac{1 - \cos \frac{π}{4}}{1 + \cos \frac{π}{4}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = = \frac{(2 - \sqrt{2})^{2}}{(2 + \sqrt{2}) \cdot (2 - \sqrt{2})} = \frac{(2 - \sqrt{2})^{2}}{2^{2} - (\sqrt{2})^{2}} = \frac{(2 - \sqrt{2})^{2}}{2}$

Угол $\frac{π}{8}$ является углом первой четверти. Согласно таблице основных тригонометрических функций по четвертям координатной плоскости, тангенс этого угла положителен. Продолжаем вычисления для дальнейшего решения: $t g \frac{π}{8} = \sqrt{t g^{2} \frac{π}{8}} = \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{2})^{2}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$

$t g \frac{π}{8} = \sqrt{2} - 1$ .

Частные случаи

Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.

Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность. Благодаря существующим таблицам, которые можно найти в математических учебниках, можно найти любое приближенное значение основных функций. Благодаря справочным материалам вычислять формулы будет намного проще. В таблицах содержатся значения с высокой точностью.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.