Формулы приведения: доказательство, примеры, мнемоническое правило
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Формулы приведения: доказательство, примеры, мнемоническое правило

    Данная статья посвящена подробному изучению тригонометрических формул приведения. Дан полный список формул приведения, показаны примеры их использования, приведено доказательство верности формул. Также в статье дано мнемоническое правило, которое позволяет выводить формулы приведения, не запоминая каждую формулу.

    Формулы приведения. Список

    Фомулы приведения позволяют приводить основные тригонометрические функции углов произвольной величины к функциям углов, лежащих в интервале от 0 до 90 градусов (от 0 до π2 радиан). Оперировать углами от 0 до 90 градусов гораздо удобнее, чем работать со сколь угодно большими значениями, поэтому формулы приведения широко применяются при решении задач тригонометрии. 

    Прежде, чем мы запишем сами формулы, уточним несколько важных для понимания моментов.

    • Аргументами тригонометрических функций в формулах приведения являются угды вида ±α+2π·z, π2±α+2π·z, 3π2±α+2π·z. Здесь z - любое целое число, а α - произвольный угол поворота.
    • Не обязательно учить все формулы приведения, количество которых довольно внушительно. Существует мнемоническое правило, которо позволяет легко вывести нужную формулу. Речь о мнемоническом правиле пойдет позже.

    Теперь перейдем непосредственно к формулам приведения.

    Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов. запишем все формулы в виде таблицы.

    Формулы приведения

    sinα+2πz=sinα, cosα+2πz=cosαtgα+2πz=tgα, ctgα+2πz=ctgαsin-α+2πz=-sinα, cos-α+2πz=cosαtg-α+2πz=-tgα, ctg-α+2πz=-ctgαsinπ2+α+2πz=cosα, cosπ2+α+2πz=-sinαtgπ2+α+2πz=-ctgα, ctgπ2+α+2πz=-tgαsinπ2-α+2πz=cosα, cosπ2-α+2πz=sinαtgπ2-α+2πz=ctgα, ctgπ2-α+2πz=tgαsinπ+α+2πz=-sinα, cosπ+α+2πz=-cosαtgπ+α+2πz=tgα, ctgπ+α+2πz=ctgαsinπ-α+2πz=sinα, cosπ-α+2πz=-cosαtgπ-α+2πz=-tgα, ctgπ-α+2πz=-ctgαsin3π2+α+2πz=-cosα, cos3π2+α+2πz=sinαtg3π2+α+2πz=-ctgα, ctg3π2+α+2πz=-tgαsin3π2-α+2πz=-cosα, cos3π2-α+2πz=-sinαtg3π2-α+2πz=ctgα, ctg3π2-α+2πz=tgα

     В данном случае формулы записаны с радианами. Однако можно записать их и с использованием градусов. Достаточно только перевести радианы в градусы, заменив π на 180 градусов.

    Примеры использования формул приведения

    Покажем, как пользоваться формулами приведения и как указанные формулы применяются при решении практических примеров.

    Угол под знаком тригонометрической функции можно представить не одним, а множеством способов. Например, аргумент тригонометрической функции может быть представлен в видах ±α+2πz, π2±α+2πz, π±α+2πz, 3π2±α+2πz. Продемонстрируем это.

    Возьмем угол α=16π3. Это угол можно записать так:

    α=16π3=π+π3+2π·2α=16π3=-2π3+2π·3α=16π3=3π2-π6+2π

    В зависимости от представления угла используется соответствующая формула приведения.

    Возьмем тот же угол α=16π3 и вычислим его тангенс

    Пример 1. Использование формул приведения

    α=16π3, tg α=?

    Представим угол  α=16π3 в виде α=π+π3+2π·2

    Этому представлению угла будет соответствовать формула приведения

    tg(π+α+2πz)=tg α

    Получим

    tg 16π3=tgπ+π3+2π·2=tgπ3

    Воспользовавшись таблицей, укажем значение тангенса

    tgπ3=3

    Теперь используем другое представление угла α=16π3.

    Пример 2. Использование формул приведения

    α=16π3, tg α=?α=-2π3+2π·3tg16π3=tg-2π3+2π·3=-tg2π3=-(-3)=3

    Наконец, для третьего представления угла запишем

    Пример 3. Использование формул приведения

    α=16π3=3π2-π6+2πtg3π2-α+2πz=ctg αtg α=tg (3π2-π6+2π)=ctgπ6=3

    Теперь приведем пример на использование формул приведения посложнее

    Пример 4. Использование формул приведения

    Представим sin 197° через синус и косинус острого угла.

    Для того, чтобы можно было применять формулы приведения, нужно представить угол α=197° в одном из видов

    ±α+360°·z, 90°±α+360°·z, 180°±α+360°·z, 270°±α+360°·z. Согласно условию задачи, угол должен быть острым. Соответственно, у нас есть два способа для его представления:

    197°=180°+17°197°=270°-73°

    Получаем

    sin197°=sin(180°+17°)sin197°=sin(270°-73°)

    Теперь посмотрим на формулы приведения для синусов и выберем соответствующие

    sin(π+α+2πz)=-sinαsin(3π2-α+2πz)=-cosαsin 197°=sin(180°+17°+360°·z)=-sin17°sin 197°=sin(270°-73°+360°·z)=-cos73°

    Мнемоническое правило

    Формул приведения много, и, к счастью, нет необходимости заучивать их наизусть. Существуют закономерности, по которым можно выводить формулы приведения для разных углов и тригонометрических функций. Эти закономерности называются мнемоническим правилом. Мнемоника - искусство запоминания. Мнемоническое правило состоит из трех частей, или содержит три этапа.

    Мнемоническое правило

    1. Аргумент исходной функции представляется в одном из видов

    ±α+2πzπ2±α+2πzπ±α+2πz3π2±α+2πz

    Угол α должен лежать в пределах от 0 до 90 градусов. 

    2. Определяется знак исходной тригонометрической функции. Такой же знак будет иметь функция, записываемая в правой части формулы.

    3. Для углов ±α+2πz и π±α+2πz название исходной функции остается неизменным, а для углов π2±α+2πz и 3π2±α+2πz соответственно меняется на "кофункцию". Синус - на косинус. Тангенс - на котангенс.

    Чтобы пользоваться мнемоническим праилом для формул приведения нужно уметь определять знаки тригонометрических функций по четвертям единичной окружности. Разберем примеры применения мнемонического правила. 

    Пример 1. Использование мнемонического правила

    Запишем формулы приведения для cosπ2-α+2πz и tgπ-α+2πzα - улог первой четверти.

    1. Так как по условию α - улог первой четверти, мы пропускаем первый пункт правила.

    2. Определим знаки функций cosπ2-α+2πz и tgπ-α+2πz. Угол π2-α+2πz также является углом первой четверти, а угол π-α+2πz находится во второй четверти. В первой четверти функция косинуса положительна, а тангенс во второй четверти имеет знак минус. Запишем, как будут выглядеть искомые формулы на этом этапе.

     cosπ2-α+2πz=+tgπ-α+2πz=-

    3. Согласно третьему пункту для угла π2-α+2π название функции изменяется на конфуцию, а для угла π-α+2πz остается прежним. Запишем:

    cosπ2-α+2πz=+sin αtgπ-α+2πz=-tg α

    А теперь заглянем в формулы, приведенные выше, и убедимся в том, что мнемоническое правило работает.

    Рассмотрим  пример с конкретным углом α=777°. Приведем синус альфа к тригонометрической функции острого угла.

    Пример 2. Использование мнемонического правила

    1. Представим углол α=777° в необходимом виде

    777°=57°+360°·2777°=90°-33°+360°·2

    2. Исходный угол - угол первой четверти. Значит, синус угла имеет положительный знак. В итоге имеем:

    3. sin 777°=sin(57°+360°·2)=sin 57°sin 777°=sin(90°-33°+360°·2)=cos 33°

    Теперь рассмотрим пример, который показывает, как важно правильно определить знак тригонометрической функции и правильно представить угол при использовании мнемонического правила. Повторим еще раз.

    Важно! 

    Угол α должен быть острым!

    Вычислим тангенс угла 5π3. Из таблицы значений основных тригонометрических функций можно сразу взять значение tg 5π3=-3, но мы применим мнемоническое правило.

    Пример 3. Использование мнемонического правила

    tg 5π3=?

    Представим угол α=5π3 в необходимом виде и воспользуемся правилом

    tg 5π3=tg3π2+π6=-ctgπ6=-3tg 5π3=tg2π-π3=-tgπ3=-3

    Если же представить угол альфа в виде 5π3=π+2π3, то результат применениея мнемонического правила будет неверным.

    tg 5π3=tgπ+2π3=-tg2π3=-(-3)=3

    Неверный результат обусловлен тем, что угол 2π3 не явдяется острым.

    Формулы приведения. Доказательство

    Доказательство формул приведения основывается на свойствах периодичности и симметричности тригонометрических функций, а также на свойстве сдвига на углы π2 и 3π2. Доказательство справедливости всех формул приведения иожно проводить без учета слагаемого 2πz, так как оно обозначает изменение угла на целое число полных оборотов и как раз отражает свойство периодичности.

    Первые 16 формул следуют напрямую из свойств основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котанганса. 

    Приведем доказательство формул приведения для синусов  и косинусов

    sinπ2+α=cos α и cosπ2+α=-sin α

    Посмотрим на единичную окружность, начальная точка которой после повоторота на угол α перешла в точку A1x, y, а после поворота на угол π2+α - в точку A2. Из обеих точек проведем перпендикуляры к оси абсцисс.

                                                                             

    Два прямоугольных треугольника OA1H1 и OA2H2 равны по гипотенузе и прилежащим к ней углам. Из расположения точек на окружности и равенства треугольников можно сделать вывод о том, что точка A2 имеет координаты A2-y, x. Используя определения синуса и косинуса, запишем:

    sin α=y, cosα=x, sinπ2+α=x, cosπ2+α=y

    Отсюда

    sinπ2+α=cos α, cosπ2+α=-sinα

    С учетом основных тождеств тригонометрии и только что доказанного, можно записать

    tgπ2+α=sinπ2+αcosπ2+α=cos α-sin α=-ctg αctgπ2+α=cosπ2+αsinπ2+α=-sin αcosα=-tg α

    Для доказательства формул приведения с аргументом π2-α его необходимо представить в виде π2+(-α). Например:

    cosπ2-α=cosπ2+(-α)=-sin(-α)=sinα

    В доказательстве используются свойства тригонометрических функций с аргументами, противоположными по знаку.

    Все остальные формулы приведения можно доказать на базе записанных выше.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,6 из 5 (5 голосов)