Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой, нахождение уравнения плоскости составление уравнения плоскости
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой

    Данная статья дает представление о том, как составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку трехмерного пространства перпендикулярно к заданной прямой. Разберем приведенный алгоритм на примере решения типовых задач.

    Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой

    Пусть задано трехмерное пространство и прямоугольная система координат Oxyz в нем. Заданы также точка М1(x1, y1, z1), прямая a и плоскость α, проходящая через точку М1 перпендикулярно прямой a. Необходимо записать уравнение плоскости α.

    Прежде чем приступить к решению этой задачи, вспомним теорему геометрии из программы 10-11 классов, которая гласит:

    Определение 1

    Через заданную точку трехмерного пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к заданной прямой.

    Теперь рассмотрим, как же найти уравнение этой единственной плоскости, проходящей через исходную точку и перпендикулярной данной прямой.

    Возможно записать общее уравнение плоскости, если известны координаты точки, принадлежащей этой плоскости, а также координаты нормального вектора плоскости.

    Условием задачи нам заданы координаты x1, y1, z1 точки М1, через которую проходит плоскость α. Если мы определим координаты нормального вектора плоскости α, то получим возможность записать искомое уравнение.

    Нормальным вектором плоскости α, так как он ненулевой и лежит на прямой a, перпендикулярной плоскости α, будет являться любой направляющий вектор прямой a. Так, задача нахождения координат нормального вектора плоскости α преобразовывается в задачу определения координат направляющего вектора прямой a.

    Определение координат направляющего вектора прямой a может осуществляться разными методами: зависит от варианта задания прямой a в исходных условиях. К примеру, если прямая a в условии задачи задана каноническими уравнениями вида

    x-x1ax=y-y1ay=z-z1az 

    или параметрическими уравнениями вида:

    x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ 

    то направляющий вектор прямой будет иметь координаты аx, аy и аz. В случае, когда прямая a представлена двумя точками М2(x2, y2, z2) и М3(x3, y3, z3), то координаты направляющего вектора буду определяться как (x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

    Определение 2

    Алгоритм для нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой:

    - определяем координаты направляющего вектора прямой a: a = (аx, аy, аz);

    - определяем координаты нормального вектора плоскости α как координаты направляющего вектора прямой a:

    n = (A, B, C), где A = ax, B = ay, C = az;

    - записываем уравнение плоскости, проходящей через точку М1(x1, y1, z1) и имеющей нормальный вектор n= (A, B, C) в виде A(x  x1) + B(y  y1) + C(z  z1) = 0. Это и будет являться требуемым уравнением плоскости, которая проходит через заданную точку пространства и перпендикулярна к данной прямой.

    Полученное общее уравнение плоскости: A(x  x1) + B(y  y1) + C(z  z1) = 0 дает возможность получить уравнение плоскости в отрезках или нормальное уравнение плоскости.

    Решим несколько примеров, используя полученный выше алгоритм.

    Пример 1

    Задана точка М1(3, -4, 5), через которую проходит плоскость, и эта плоскость перпендикулярна координатной прямой Оz.

    Решение

    направляющим вектором координатной прямой Oz будет координатный вектор k= (0, 0, 1).  Следовательно, нормальный вектор плоскости имеет координаты (0, 0, 1). Запишем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М1(3, -4, 5), нормальный вектор которой имеет координаты (0, 0, 1):

    A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=00·(x-3)+0·(y-(-4))+1·(z-5)=0z-5=0

    Ответ: z  5 = 0.

    Рассмотрим еще один способ решить данную задачу:

    Пример 2

    Плоскость, которая перпендикулярна прямой Oz будет задана неполным общим уравнением плоскости вида Сz+D=0, C 0. Определим значения C и D: такие, при которых плоскость проходит через заданную точку. Подставим координаты этой точки в уравнение Сz + D= 0, получим: С · 5 + D= 0. Т.е. числа, C и D связаны соотношением -DC=5. Приняв С = 1, получим D = -5.

    Подставим эти значения в уравнение Сz + D= 0 и получим требуемое уравнение плоскости, перпендикулярной к прямой Oz и проходящей через точку М1(3, -4, 5).

    Оно будет иметь вид: z  5 = 0.

    Ответ: z  5 = 0.

    Пример 3

    Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой x-3=y+1-7=z+52

    Решение 

    Опираясь на условия задачи, можно утверждать, что за нормальный вектор n заданной плоскости можно принять направляющий вектор заданной прямой. Таким, образом: n= (-3, -7, 2). Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку О (0, 0, 0) и имеющей нормальный вектор n= (-3, -7, 2):

    -3·(x-0)-7·(y-0)+2·(z-0)=0-3x-7y+2z=0

    Мы получили требуемое уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к заданной прямой.

    Ответ: -3x-7y+2z=0

    Пример 4

    Задана прямоугольная система координат Oxyz в трехмерном пространстве, в ней – две точки А(2, -1,-2) и B(3, -2, 4). Плоскость α проходит через точку A перпендикулярно прямой АВ. Необходимо составить уравнение плоскости α в отрезках.

    Решение

    Плоскость α перпендикулярна к прямой АВ, тогда вектор АВ будет нормальным вектором плоскости α. Координаты этого вектора определяются как разности соответствующих координат точек В(3, -2, 4) и А(2,-1,-2):

    AB=(3-2, -2-(-1), 4-(-2))AB=(1, -1, 6)

    Общее уравнение плоскости будет записано в следующем виде:

    1·x-2-1·y-(-1+6·(z-(-2))=0x-y+6z+9=0

    Теперь составим искомое уравнение плоскости в отрезках:

    x-y+6z+9=0x-y+6z=-9x-9+y9+z-32=1

    Ответ: x-9+y9+z-32=1

    Также нужно отметить, что встречаются задачи, требование которых – написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной к двум заданным плоскостям. В общем, решение этой задачи в том, чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой, т.к. две пересекающиеся плоскости задают прямую линию.

    Пример 5

    Задана прямоугольная система координат Oxyz , в ней – точка М1 (2, 0, -5). Заданы также уравнения двух плоскостей 3x + 2y + 1 = 0 и x + 2z  1 = 0, которые пересекаются по прямой a. Необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно к прямой a.

    Решение

    Определим координаты направляющего вектора прямой a. Он перпендикулярен как нормальному вектору n1(3, 2, 0)  плоскости n(1, 0, 2), так и нормальному вектору 3x+2y+1=0 плоскости x+2z-1=0.

    Тогда направляющим вектором α прямой a возьмем векторное произведение векторов n1и n2:

    a=n1×n2=ijk320102=4·i-6·j-2·ka=(4, -6, -2)

    Таким образом, вектор n=(4, -6, -2) будет нормальным вектором плоскости, перпендикулярной к прямой a. Запишем искомое уравнение плоскости:

    4·(x-2)-6·(y-0)-2·(z-(-5))=04x-6y-2z-18=02x-3y-z-9=0

    Ответ: 2x-3y-z-9=0

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,0 из 5 (16 голосов)