Предел функции, правило Лопиталя
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Предел функции, правило Лопиталя

    Применение правила Лопиталя необходимо для вычисления пределов при получении неопределенностей вида 00 и .

    Имеются неопределенности вида 0· и -.

    Самой важной частью правила Лопиталя является дифференцирование функции и нахождение ее производной.

    Правило Лопиталя

    Определение 1

    Когда limxx0f(x)g(x)=00 или  и функции  f(x), g(x) являются дифференцируемыми в пределах точки х0, тогда limxx0f(x)g(x)=limxx0f'(x)g'(x).

    Если неопределенность нерешаема после применения правила Лопиталя, тогда необходимо снова его применить. Для полного понятия рассмотрим несколько примеров.

    Пример 1

    Произвести вычисления, применив правило Лопиталя limx0sin2(3x)x·cos(x).

    Решение

    Для решения по правилу Лопиталя для начала необходимо произвести подстановку. Получаем, что limx0sin2(3x)x·cos(x)=sin2(3·0)0·cos(0)=00.

    Теперь можно переходить к вычислению пределов, используя правило. Получаем, что

    limx0sin2(3x)x·cos(x)=00=limx0sin2(3x)'x·cos(x)'=limx02sin(3x)(sin(3x))'x'·cos(x)+x·(cos(x))'==limx06 sin(3x)cos(3x)cos(x)-x·sin(x)=6sin(3·0)cos(3·0)cos(0)-0·sin(0)=01=0

    Ответ: limx0sin2(3x)x·cos(x)=0.

    Пример 2

    Вычислить предел заданной функции limxln(x)x.

    Решение

    Производим постановку бесконечностью. Получаем, что

    limxln(x)x=ln()=

    Полученная неопределенность указывает на то, что необходимо применить правило Лопиталя. Имеем, что

    limxln(x)x==limxln(x)'x'=limx1x1=1=0

    Ответ: limxln(x)x=0

    Пример 3

    Вычислить предел заданной функции limx0+0(x4ln(x))

    Решение

    Производим подстановку значения x. получаем, что

    limx0+0(x4ln(x))=(0+0)4·ln(0+0)=0·(-)

    Решение привело к неопределенности вида ноль умноженный на отрицательную бесконечность. Это указывает на то, что необходимо обратиться к таблице неопределенностей и принять решения для выбора метода нахождения этого предела. После преобразования применяем правило Лопиталя. Получаем, что

    limx0+0(x4ln(x))=0·(-)=limx0+0ln(x)x-4=ln(0+0)(0+0)-4=-+

    Приход к неопределенности говорит о том, что необходимо повторное применение этого правила. Имеем, что

    limx0+0(x4ln(x))=0·(-)=limx0+0ln(x)x-4=-+==limx0+0(ln(x))'(x-4)'=limx0+01x-4-5=-14limx0+01x-4=-14·1(0+0)-4==-14·(0+0)4=0

    Ответ: limx0+0(x4ln(x))=0

    Пример 4

    Выполнить вычисление предела функции limx0ctg2(x)-1x2.

    Решение

    После подстановки получаем

    limx0ctg2(x)-1x2=-

    Наличие неопределенности указывает на то, что следует использовать правило Лопиталя. Получаем, что

    limx0ctg2(x)-1x2=-=limx0cos2(x)sin2(x)-1x2==limx0x2cos2(x)-sin2(x)x2sin2(x)=limx0x cos x-sin xx cos x+sin xx2sin2(x)==limx0x cos x-sin xx sin2(x)x cos x+sin xx=limx0xcos x-sinxxsin2(x)cos x+sin xx==limx0cos x+sin xxlimx0xcos x-sin xxsin2(x)=2limx0x cosx-sin xx sin2 (x)==20·cos(0)-sin(0)0·sin2(0)=00

    Для последнего перехода использовался первый замечательный предел. После чего приходим к решению по Лопиталю. Получим, что

    2limx0x cosx-sin xx sin2 (x)=00=2limx0(x cosx -sin x)'(x sin2(x))'==2limx0cos x-x sin x-cos xsin2(x)+2x sin x cos x=2limx0-xsin(x)+2x cos x=00

    Так как неопределенность не ушла, необходимо еще одно применение правила Лопиталя. Получаем предел вида

    2limx0-xsin(x)+2x cos x=00=2limx0-x'sin(x)+2x cos x'==2limx01cos x+2cos x-2xsin x=-2·13·cos(0)-2·0·sin(0)=-23

    Ответ: limx0ctg2(x)-1x2=-23

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,3 из 5 (20 голосов)