Эквивалентные бесконечно малые, применение к нахождению пределов

Эквивалентные бесконечно малые, применение к нахождению пределов

    Функции вида α(x) и β(x) называются бесконечно малыми, если значение xx0, а limxx0α(x)=0 и limxx0β(x)=0.

    Функции вида α(x) и β(x) называются эквивалентно бесконечно малыми, если значение xx0, а limxx0α(x)β(x)=1.

    Для нахождения пределов используют замены эквивалентных бесконечно малых. Их проводят, основываясь на данных таблицы.

    Таблица эквивалентных бесконечно малых

    Когда имеем α(x) как бесконечно малую функцию со значением xx0.

    sin(α(x)) эквивалентна α(x)
    tg(α(x)) эквивалентна α(x)
    arcsin(α(x)) эквивалентна α(x)
    arctg(α(x)) эквивалентна α(x)
    1-cos(α(x)) эквивалентна α(x)22
    ln(1+α(x)) эквивалентна α(x)
    αα(x)-1 эквивалентна α(x)ln α
    1+α(x)p-1 эквивалентна pα(x)
    1+α(x)1p-1 эквивалентна α(x)p

    Для доказательства эквивалентности  основываются на равенстве limxx0α(x)β(x)=1.

    Пример 1

    Доказать эквивалентность бесконечно малых величин ln(1+α(x)) и α(x).

    Решение

    Необходимо вычислить предел отношения данных величин limxx0ln(1+α(x))α(x).

    При использовании одно свойства логарифмов, получаем, что

    limxx0ln(1+α(x))α(x)=1α(x)ln(1+α(x))=ln(1+α(x))1α(x)

    Запишем предел вида

    limxx0ln(1+α(x))α(x)=ln(1+α(x))1α(x)

    Логарифмическая функция считается непрерывной на своей области определения, тогда необходимо применять свойство предела непрерывных функций, причем сменить знак перед предельным переходом и логарифмом. Получаем, что

    limxx0ln(1+α(x))α(x)=ln(1+α(x))1α(x)=lnlimxx01+α(x)1a(x)

    Необходимо произвести замену переменных t=α(x). Имеем, что α(x) является бесконечно малой функцией с xx0, тогда limxx0a(x)=0. Отсюда следует, что t0.

    Предел принимает вид

    limxx0ln(1+α(x))α(x)=ln(1+α(x))1α(x)=lnlimxx01+α(x)1a(x)==lnlimt0(1+t)1t=ln(e)=1

    Ответ: limxx0ln(1+α(x))α(x)=1

    Получение 1 говорит о том, что заданные бесконечно малые функции эквивалентны. При последнем переходе применяли второй замечательный предел.

    Таблица эквивалентных бесконечно малых необходима для ускорения процесса вычисления.

    Пример 2

    Вычислить предел функции limx01-cos4x216x4.

    Решение

    Производится подстановка значений

    limx01-cos4x216x4=1-cos(4·02)16·04=00

    Полученная неопределенность говорит о том, что функция бесконечно малая и для ее разрешения необходимо обратиться к таблице эквивалентных бесконечно малых. Тогда получаем, что функция 1-cosα(x) является эквивалентной α(x)22, тогда имеем, что 1-cos(4x2) является эквивалентной 4x222.

    После того, как была произведена замена бесконечно малой функции на ее эквивалентную, предел запишется так:

    limx01-cos4x216x4=00=limx0(4x2)2216x4=limx016x432x4=12

    Без таблицы эквивалентных бесконечно малых не имели бы возможность воспользоваться правилом Лопиталя. Получаем, что

    limx01-cos4x216x4=00=limx01-cos(4x2)'16x4'=limx08xsin(4x2)64x3==limx0sin(4x2)8x2=00=limx0sin4x2'8x2'=limx08xcos(4x2)16x=12limx0cos(4x2)=12

    Можно было произвести преобразование функции с применением тригонометрических формул с применением первого замечательного предела. Запишем, что

    limx01-cos(4x2)16x4=00=limx02sin2(2x2)16x4==limx012·sin(2x2)2x2·sin(2x2)2x2=12limx0sin(2x2)2x2·limx0sin(2x2)2x2== пусть t=2x2,t0 при x0=12limt0sin(t)t·limt0sin(t)t=12·1·1=12

    Ответ: 12.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter