Первый замечательный предел: примеры нахождения, задачи и подробные решения

Первый замечательный предел: примеры нахождения, задачи и подробные решения

    Первый замечательный предел выглядит следующим образом: limx0sin xx=1.

    В практических примерах часто встречаются модификации первого замечательного предела: limx0sink·xk·x=1, где k – некоторый коэффициент.

    Поясним: limx0sin(k·x)k·x=пусть t=k·xиз x0 следует t0  =limt0sin(t)t=1.

    Следствия первого замечательного предела:

    1. limx0xsin x=limx0=1sin xx=11=1
    1.  limx0k·xsin k·x=limx01sin (k·x)k·x=11=1

    Указанные следствия достаточно легко доказать, применив правило Лопиталя или замену бесконечно малых функций.

    Рассмотрим некоторые задачи на нахождение предела по первому замечательному пределу; дадим подробное описание решения.

    Пример 1

    Необходимо определить предел, не используя правило Лопиталя: limx0sin(3x)2x.

    Решение

    Подставим значение:

    limx0sin(3x)2x=00

    Мы видим, что возникла неопределенность нуль делить на нуль. Обратимся к таблице неопределенностей, чтобы задать метод решения. Сочетание синуса и его аргумента дает нам подсказку об использовании первого замечательного предела, однако для начала преобразуем выражение. Произведем умножение числителя и знаменателя дроби на 3x и получим:

    limx0sin(3x)2x=00=limx03x·sin(3x)3x·(2x)=limx0sin (3x)3x·3x2x==limx032·sin (3x)3x

    Опираясь на следствие из первого замечательного предела, имеем: limx0sin (3x)3x=1.

    Тогда приходим к результату:

    limx032·sin (3x)3x=32·1=32

    Ответ: limx0sin (3x)3x=32.

    Пример 2

    Необходимо найти предел limx01-cos(2x)3x2.

    Решение

    Подставим значения и получим:

    limx01-cos(2x)3x2=1-cos (2·0)3·02=1-10=00

    Мы видим неопределенность нуль делить на нуль. Произведем преобразование числителя с использованием формул тригонометрии:

    limx01-cos(2x)3x2=00=limx02sin2(x)3x2

    Видим, что теперь здесь возможно применение первого замечательного предела:

    limx02sin2(x)3x2=limx023·sin xx·sin xx=23·1·1=23

    Ответ: limx01-cos (2x)3x2=23.

    Пример 3

    Необходимо произвести вычисление предела limx0arcsin(4x)3x.

    Решение

    Подставим значение:

    limx0arcsin(4x)3x=arcsin(4·0)3·0=00

    Мы видим неопределенность делить нуль на нуль. Произведем замену:

    пусть

     arcsin (4x)=tsin (arcsin(4x))=sin (t)4x=sin (t)x=14sin (t)limx0(arcsin(4x))=arcsin(4·0)=0, значит t0 при x0.

    В таком случае, после замены переменной, предел принимает вид:

    limx0arcsin(4x)3x=00=limt0t3·14sin(t)==limt043·tsin t=43·1=43

    Ответ: limx0arcsin(4x)3x=43.

    Для более полного понимания материала статьи следует повторить материал темы «Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и решения».

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter