Предел показательно степенной функции, примеры нахождения

Предел показательно степенной функции, примеры нахождения

    В процессе нахождения предела показательно-степенной функции типа limxx0(f(x))g(x) часто работаем с такими степенными неопределенностями, как 1, 00, 0.

    Для их раскрытия необходимо задействовать логарифмирование a=eln(a),  свойство логарифма a·ln(b)=ln(ba) и применение его предела заданной непрерывной функции, причем ее знак разрешено менять местами.

    Для этого производятся преобразования вида:

    limxx0(f(x))g(x)=elnlimxx0f(x))g(x)=elimxx0(ln(f(x))g(x)=elimxx0(g(x)ln(f(x)))==elimxx0ln(f(x))1g(x)

    Отсюда видно, что задание приводится к нахождению предела заданной функции вида elimxx0ln(f(x))1g(x)= или 00.

    Данный случай рассматривает методы:

    • непосредственного вычисления;
    • использования правила Лопиталя;
    • с заменой эквивалентных бесконечно малых функций;
    • применение первого замечательного предела.

    Для того, чтобы неопределенность была раскрыта, необходимо применять второй замечательный предел, при наличии 1.

    Рассмотрим теорию на элементарных примерах заданий.

    Пример 1

    Найти предел заданной функции limx0(x3+2x+1)32x3+x.

    Решение

    Для решения необходимо произвести подстановку. Получаем :

    limx0(x3+2x+1)32(x3+x)=(03+2·0+1)32(03+0)=1

    Получение единицы в степени бесконечность называют неопределенностью, значит, необходимо решить другим методом.

    Следует произвести преобразования данного предела. Получаем:

    limx0(x3+2x+1)32(x3+x)=elnlimx0(x3+2x+1)32(x3+x)==elimx0ln(x3+2x+1)32(x3+x)=elimx03ln(x3+2x+1)2(x3+x)

    Видим, что преобразование сводится к пределу  вида limx03ln(x3+2x+1)2(x3+x).

    Получаем

    limx03ln(x3+2x+12(x3+x)=00=32limx0ln(x3+2x+1)x3+x==32limx0x3+2xx3+x=32limx0x2+2x2+1=32·02+202+1=3

    Данные преобразования были выполнены при помощи применения замены логарифма на эквивалентную бесконечно малую функцию.

    Тогда исходный предел принимает вид limx0(x2+2x+1)32(x3+x)=e3.

    Вычисление данного предела возможно с применением второго замечательного предела. Тогда получаем:

    limx0(x2+2x+1)32(x3+x)=limx0(1+(x3+2x)1x3+2x(x3+2x)32(x3+x)==limx0(1+(x3+2x))1x3+2x3(x3+2x)2(x3+x)=limx01+(x3+2x))1x3+2x3(x2+2)2(x2+1)==limx0(1+(x3+2x)1x3+2x3=e3

    Ответ: e3.

    Пример 2

    Найти  и вычислить предел lim xπ2 (tgx)2 cos x

    Решение

    Если произведем подстановку, в результате получим ответ в виде бесконечности в степени ноль, а это является знаком, что необходимо применить другой метод для преобразования. Получаем:

    lim xπ2 (tg x)2 cos x=0=elnlim xπ2(tg x)2cos x==e2lim xπ2(tg x)2cos x=elim xπ2(2cos x·ln·(tg x))==e2lim xπ2ln(tg x)1cos x

    Отсюда видно, что решение сводится к переделу lim xπ2ln(tg x)1cos x=.

    Для дальнейшего преобразования применим правило Лопиталя, так как получили неопределенность в виде частного бесконечностей.  Видим, что

    lim xπ2ln(tg x)1cos x==lim xπ2=ln(tg x)'1cos(x)'==lim xπ21tg(x)·1cos2 (x)sin (x)cos2(x)=lim xπ2cos (x)sin2(x)=cosπ2sin2π2=012=0

    Отсюда следует, что пределом показательно-степенной функции является результат, полученный при вычислении. Имеем вы предел вида limxπ2(tg x)2cos x=e2·0=e0=1.

    Ответ: 1.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter