Второй замечательный предел: примеры нахождения, задачи и подробные решения

Второй замечательный предел: примеры нахождения, задачи и подробные решения

    Формула второго замечательного предела имеет вид limx1+1xx=e. Другая форма записи выглядит так:  limx0(1+x)1x=e.

    Когда мы говорим о втором замечательном пределе, то нам приходится иметь дело с неопределенностью вида 1, т.е. единицей в бесконечной степени.

    Рассмотрим задачи, в которых нам пригодится умение вычислять второй замечательный предел.

    Пример 1

    Найдите предел limx1-2x2+1x2+14.

    Решение

    Подставим нужную формулу и выполним вычисления.

    limx1-2x2+1x2+14=1-22+12+14=1-0=1

    У нас в ответе получилась единица в степени бесконечность. Чтобы определиться с методом решения, используем таблицу неопределенностей. Выберем второй замечательный предел и произведем замену переменных.

    t=-x2+12x2+14=-t2

    Если x, тогда t-.

    Посмотрим, что у нас получилось после замены:

    limx1-2x2+1x2+14=1=limx1+1t-12t=limt1+1tt-12=e-12

    Ответ: limx1-2x2+1x2+14=e-12.

    Пример 2

    Вычислите предел limxx-1x+1x.

    Решение 

    Подставим бесконечность и получим следующее.

    limxx-1x+1x=limx1-1x1+1xx=1-01+0=1

    В ответе у нас опять получилось то же самое, что и в предыдущей задаче, следовательно, мы можем опять воспользоваться вторым замечательным пределом. Далее нам нужно выделить в основании степенной функции целую часть:

    x-1x+1=x+1-2x+1=x+1x+1-2x+1=1-2x+1

    После этого предел приобретает следующий вид:

    limxx-1x+1x=1=limx1-2x+1x

    Заменяем переменные. Допустим, что t=-x+122t=-x-1x=-2t-1; если x, то t.

    После этого записываем, что у нас получилось в исходном пределе:

    limxx-1x+1x=1=limx1-2x+1x=limx1+1t-2t-1==limx1+1t-2t·1+1t-1=limx1+1t-2t·limx1+1t-1==limx1+1tt-2·1+1=e-2·(1+0)-1=e-2

    Чтобы выполнить данное преобразование, мы использовали основные свойства пределов и степеней.

    Ответ: limxx-1x+1x=e-2.

    Пример 3

    Вычислите предел limxx3+1x3+2x2-13x42x3-5.

    Решение

    limxx3+1x3+2x2-13x42x3-5=limx1+1x31+2x-1x332x-5x4==1+01+0-030-0=1

    После этого нам нужно выполнить преобразование функции для применения второго замечательного предела. У нас получилось следующее:

    limxx3+1x3+2x2-13x42x3-5=1=limxx3-2x2-1-2x2+2x3+2x2-13x42x3-5==limx1+-2x2+2x3+2x2-13x42x3-5

    Далее нам нужно домножить показатель на x3+2x2-1-2x2+2, после чего разделить на то же выражение, используя свойства степеней.

    limx1+-2x2+2x3+2x2-13x42x3-5=limx1+-2x2+2x3+2x2-1x3+2x2-1-2x2+2-2x2+2x3+2x2-13x42x3-5==limx1+-2x2+2x3+2x2-1x3+2x2-1-2x2+2-2x2+2x3+2x2-13x42x3-5

    Поскольку сейчас у нас есть одинаковые показатели степени в числителе и знаменателе дроби (равные шести), то предел дроби на бесконечности будет равен отношению данных коэффициентов при старших степенях.

    limx1+-2x2+2x3+2x2-1x3+2x2-1-2x2+2-2x2+2x3+2x2-13x42x3-5==limx1+-2x2+2x3+2x2-1x3+2x2-1-2x2+2-62=limx1+-2x2+2x3+2x2-1x3+2x2-1-2x2+2-3

    При замене t=x2+2x2-1-2x2+2 у нас получится второй замечательный предел. Значит, что:

    limx1+-2x2+2x3+2x2-1x3+2x2-1-2x2+2-3=limx1+1tt-3=e-3

    Ответ:limxx3+1x3+2x2-13x42x3-5=e-3.

    Выводы

    Неопределенность 1, т.е. единица в бесконечной степени, является степенной неопределенностью, следовательно, ее можно раскрыть, используя правила нахождения пределов показательно степенных функций.

    Советуем также изучить материалы, посвященные пределам, основным определениям и задачам на их нахождение.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter