Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства

Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства

    Определение первообразной

    Для начала, дадим определение понятиям, которые будут использоваться в данном разделе. В первую очередь это первообразная функции. Для этого введем константу C.

    Определение 1

    Первообразная функции f(x) на промежутке (a; b) это такая функция F(x), при которое формула F'(x)=f(x) превращается в равенство для любого x из заданного промежутка.

    Следует учитывать тот факт, что производная от константы C будет равна нулю, что позволяет нам считать верным следующее равенство F(x)+C'=f(x).

    Получается, что функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы C. Эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

    Определение неопределенного интеграла

    Все множество первообразных функции f(x) можно назвать неопределенным интегралом этой функции. С учетом этого формула будет иметь вид f(x)dx=F(x)+C. При этом, выражение f(x)dx является подынтегральным выражением, а f(x) – это подынтегральная функция. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

    Имея заданный дифференциал функции, мы можем найти неизвестную функцию.

    Результатом неопределенного интегрирования будет не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

    • Зная свойства производной, мы можем сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

    f(x)dx'=F(x)+C'=f(x)

    • Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

    d(F(x))=F'(x)dx=f(x)dx=F(x)+C

    • Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

    k·f(x)dx=k·f(x)dx, где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

    • Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

    f(x)±g(x))dx=f(x)dx±g(x)dx

    Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла мы привели в качестве пояснения.

    Для того, чтобы доказать третье и четвертое свойства, необходимо найти производные от правых частей равенств:

    k·f(x)dx'=k·d(x)dx'=k·f(x)f(x)dx±g(x)dx'=f(x)dx'±g(x)dx'=f(x)±g(x)

    Производные правых частей равенств равны подынтегральным функциям, что является доказательством первого свойства. Его же мы используем в последних переходах.

    Как видите, задача интегрирования представляет собой обратный процесс по отношению к задаче дифференцирования. Обе эти задачи тесно связаны между собой.

    Первое свойство может быть использовано для проведения проверки интегрирования. Для проверки нам достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная функция будет равна подынтегральной функции, то интегрирование проведено верно.

    Благодаря второму свойству по известному дифференциалу функции мы можем найти ее первообразную и использовать ее для вычисления неопределенного интеграла.

    Рассмотрим пример.

    Пример 1

    Найдем первообразную функции f(x)=1x, значение которой равно единице при х=1.

    Решение

    Используя таблицу производных основных элементарных функций получаем

    d(ln x)=(ln x)'dx=dxx=f(x)dxf(x)dx=dxx=d(ln(x))

    Используя второе свойство d(ln(x))=ln(x)+C, мы получаем множество первообразных ln(x)+C. При х=1 получим значение ln(1)+C=0+C=C. Согласно условию задачи, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1. Искомая первообразная примет вид  ln(x)+1.

    Ответ: f(x)=1x=ln(x)+1

    Пример 2

    Необходимо найти неопределенный интеграл 2sinx2cosx2dx и проверить результат вычисления дифференцированием.

    Решение

    Используем для проведения вычислений формулу синуса двойного угла из курса тригонометрии 2sinx2cosx2=sin x, получим 2sinx2cosx2dx=sin xdx.

    Используем таблицу производных для тригонометрических функций, получим:

    d(cos x)=cos x'dx=-sin xdxsin xdx=-d(cos x)

    То есть, sin xdx=(-d(cos x))

    Используя третье свойство неопределенного интеграла, мы можем записать -d(cos x)=-d(cos x).

    По второму свойству получаем -d(cos x)=-(cos x+C)

    Следовательно, 2sin x2cosx2dx=-cos x-C.

    Проверим полученный результат дифференцированием.

    Продифференцируем полученное выражение:
    -cos x-C'=-(cos x)'-(C)'=-(-sin x)=sin x=2sinx2cosx2

    В результате проверки мы получили подынтегральную функцию. Это значит, что интегрирование было проведено нами верно. Для осуществления последнего перехода мы использовали формулу синуса двойного угла.

    Ответ: 2sin x2cosx2dx=-cos x-C

    Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.

    Подробнее эту тему мы рассмотрим в следующем разделе  «Таблица первообразных (таблица неопределенных интегралов)».

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter