Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

    Данная статья рассматривает способы решения линейных дифференциальных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами вида y''+py'+qy=0  с p и q являющимися действительными числами. Будет рассмотрена теория с приведением примеров с подробным решением.

    Перейдем к формулировке теоремы, которая показывает, какого вида должно быть уравнение, чтобы можно было искать общее решение ЛОДУ.

    Теорема общего решения линейного однородного дифференциального уравнения

    Теорема 1

    Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения вида y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+...+f0(x)·y=0 с непрерывными на интервале интегрирования x коэффициентами f0(x), f1(x),..., fn-1(x) определяют линейную комбинацию вида y0=j=1nCj·yj, где yj, j=1, 2,..., n являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ на интервале x, где Cj, j=1, 2,..., n берут за произвольные постоянные.

    Отсюда получаем, что общее решение такого уравнения y''+py'+qy=0 может быть записано как y0=C1y1+C2y2 , где y1 и y2 выражаются линейно независимыми решениями,  а С1 и C2 – произвольными постоянными. Необходимо поработать с нахождением частных решений y1 и y2.

    Определение 1

    Существует формула по Эйлеру для поиска частных решений вида y=ek·x.

    Если взять y=ek·x за частное решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y''+py'+qy=0, тогда, используя подстановку, получим тождество вида:

    ek·x''+p·ek·x'+q·ek·x=0k2·ek·x+p·ek·x+q·ek·x=0ek·x·(k2+p·k+q)=0k2+p·k+q=0

    Данное тождество называют характеристическим уравнением с постоянными коэффициентами k1 и k2, которые и являются его решениями и определяют частые решения вида y1=ek1·x и y2=ek2·xзаданного ЛОДУ.

    Определение 2

    При различных значениях p и q можно получить характеристические уравнения с корнами такого вида:

    1. Действительные и различные k1k2, k1, k2R.
    2. Действительные и совпадающие k1=k2,=k0 , k0R.
    3. Комплексно сопряженную пару k1=α+i·β , k2=α-i·β.

    Первый случай показывает, что решениями такого уравнения могут быть y1=ek1·x и y2=ek2·x, а общее решение принимает вид y0=C1·ek1·x+C2·ek2·x с постоянными коэффициентами. Функции y1=ek1·x и y2=ek2·x рассматриваются, как линейно независимыми по причине отличного от нуля определителя Вронского W(x)=y1y2y1'y2'=ek1·xek2·xk1·ek1·xk2·ek2·x=ek1·x·ek2·x·k2-k1 с действительными k1k2, k1,k2R.

    Второй случай объясняет, что первым частным решением функции – это выражение y1=ek0·x. Вторым частным решением можно брать y2=x·ek0·x. Определим, что y2=x·ek0·x может являться частным решением ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y''+py'+qy=0 и докажем линейную независимость  y1 и y2.

    Имеем, что k1= k0 и k2=k0 являются совпадающими корнями характеристического уравнения. Тогда оно примет вид k-k02=0k2-2k0·k+k02=0. Отсюда следует, что y''-2k0·y'+k02·y=0 является линейным однородным дифференциальным уравнением. Необходимо подставить выражение y2=x·ek0·x для того, чтобы убедиться в тождественности:

    y2''-2k0·y'2+k02·y2=0x·ek0·x''-2k0·x·ek0x'+k02·x·ek0·x=0ek0·x+k0·x·ek0x'-2k0·ek0·x+k0·x·ek0x+k02·x·ek0·x=0(k0·ek0·x+k0·ek0·x+k02·x·ek0·x--2k0·ek0·x-k02·x·ek0·x+k02·x·ek0·x)=000

    Отсюда следует, что y2=x·ek0·x - это частное решение данного уравнения. Необходимо рассмотреть линейную независимость y1=ek0·x и y2=x·ek0·x.  Чтобы убедиться в этом, следует прибегнуть к вычислению определителя Вронского. Он не должен быть равен нулю.

    Получаем, что

    W(x)=y1y2y1'y2'=ek0·xx·ek0·xek0·x'x·ek0·x'==ek0·xx·ek0·xk0·ek0·xek0·x·(1+k0·x)==ek0·x·ek0·x·1+k0·x-k0·x·ek0·x·ek0·x=e2k0·x0 xR

    Можно сделать вывод, что линейно независимые частные решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y''+py'+qy=0 считаются y1=ek0·x и y2=x·ek0·x. Это подразумевает то, что решением будет являться выражение y0=C1·ek0·x+C2·x·ek0·x при k1=k2=k0, k0R.

    Третий случай говорит о том, что имеем дело с парой комплексных частных решений ЛОДУ вида y1=eα+i·β·x и y2=eα-i·β·x.

    Запись общего решения примет вид y0=C1·eα+i·β·x+C2·eα-i·β·x.

    Функции y1=ea·x·cos βx и y2=ea·x·sin βx могут быть записаны вместо частных решений уравнения, причем с соответствующими действительной и мнимой частями. Это понятно при преобразовании общего решения y0=C1·eα+i·β·x+C2·eα-i·β·x. Для этого необходимо воспользоваться формулами из теории функции комплексного переменного вида. Тогда получим, что

    y0=C1·eα+i·β·x+C2·eα-i·β·x==C1·eα·x·cos βx+i·sin βx+C2·eα·x·cos βx-i·sin βx==(C1+C2)·eα·x·cos βx+i·(C1-C2)·eα·x·sin βx==C3·eα·x·cos βx+C4·eα·x·sin βx

    Отчетливо видно, что С3 и С4 используются в качестве произвольных постоянных.

    Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения

    Определение 2

    Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка  с постоянными переменными вида y''+py'+qy=0:

    1. Запись характеристического уравнения k2+pk+q=0.
    2. Нахождение корней характеристического уравнения k1  и k2.
    3. Производим запись ЛОДУ, исходя из полученных значений с постоянными коэффициентами:
    • y0=C1·ek1·x+C2·ek2·x при k1k2, k1, k2R;
    • y0=C1·ek0·x+C2·x·ek0·x при k1=k2=k0, k0R;
    • y0=eα·x·(C1·cos βx+C2·sin βx) при k1=α+i·β, k2=α-i·β.
    Пример 1

    Найти общее решение заданного уравнения  с постоянными коэффициентами y''+4y'+4y=0.

    Решение

    Следуя алгоритму, необходимо записать характеристическое уравнение k2 + 4  k + 4 = 0, после чего обозначить его корни. Получаем, что

    k2+4k+4=0(k+2)2=0k1=k2=k0=-2

    Очевидно, что полученные корни являются совпадающими.

    Ответ: Запись общего решения: y0=C1·ek0x+C2·x·ek0x=C1·e-2x+C2·x·e-2x.

    Пример 2

    Найти решение заданного уравнения вида y''-5y'+6y=0.

    Решение

    По условию имеется ЛОДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами. Это указывает на то, что необходимо записать характеристическое уравнение и обозначить его корни. Получим:

    k2-5k+6=0D=52-4·6=1k1=5-12=2k2=5+12=3

    Видно, что корни различные и действительные. Это говорит о том, что уравнение общего вида запишется как y0=C1·ek1x+C2ek2x=C1·e2x+C2·e3x.

    Ответ: y0=C1·ek1x+C2ek2x=C1·e2x+C2·e3x.

    Пример 3

    Найти общее решение дифференциального уравнения вида y''-y'+3y=0.

    Решение

    Необходимо перейти к характеристическому уравнению ЛОДУ 2 порядка, что соответствует записи k2-k+3=0, после чего обозначить его корни. Тогда получим, что

    D=12-4·3=-11k1=1+i112=12+i·112k2=1-i112=12-i·112α=12, β=112

    На выходе имеем пару комплексно сопряженных корней характеристического уравнения. Отсюда следует, что  общим решением является запись уравнения вида

    y0=ea·x·(C1·cos βx+C2·sin βx)==ex2·C1·cos11x2+C2·sin112

    Ответ: y0=ex2·C1·cos11x2+C2·sin112.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,7 из 5 (15 голосов)