Дифференциальные уравнения: виды, методы решения

Виды дифференциальных уравнений

    Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.

    В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.

    Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.

    Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.

    Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».

    Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2-го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.

    Напомним, что y'=dxdy, если y является функцией аргумента x.

    Дифференциальные уравнения первого порядка

    Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y'=f(x)

    Начнем с примеров таких уравнений.

    Пример 1

    y'=0, y'=x+ex-1, y'=2xx2-73

    Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f(x)·y'=g(x) является метод деления обеих частей на f(x). Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y'=g(x)f(x). Оно является эквивалентом исходного уравнения при f(x)  0.

    Пример 2

    Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:

    ex·y'=2x+1, (x+2)·y'=1

    Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х, при которых функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в 0. В качестве дополнительного решения в уравнениях f(x)·y'=g(x) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х.

    Пример 3

    Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x·y'=sin x, (x2-x)·y'=ln(2x2-1)

    Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка».

    Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx или f1(y)·g1(x)·y'=f2(y)·g2(x)

    Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f(y)dy=g(x)dx. Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у, разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.

    Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: f(y)dy=f(x)dx

    Пример 4

    К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:

    y23dy=sin xdx, eydy=(x+sin 2x)dx

    Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f2(y)  g1(x). Так мы придем к уравнению f1(y)f2(y)dy=g2(x)g1(x)dx. Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f2(y)  0 и g1(x)  0. Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.

    Пример 5

    В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: dydx=y·(x2+ex), (y2+arccos y)·sin x·y'=cos xy.

    К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = ax+by. Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y'=f(ax+by), a,bR.

    Пример 6

    Подставив z = 2x+3y в уравнение y'=1e2x+3y получаем dzdx=3+2ezez.

    Заменив z=xy или z=yx в выражениях y'=fxy или y'=fyx, мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.

    Пример 7

    Если произвести замену z=yx в исходном уравнении y'=yx·lnyx+1, получаем x·dzdx=z·ln z.

    В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.

    Пример 8

    Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y'=y2-x22xy. Нам необходимо привести его к виду y'=fxy или y'=fyx. Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x2 или y2.

    Пример 9

    Нам дано уравнение y'=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2, a1, b1, c1, a2, b2, c2 R.

    Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y'=fxy или y'=fyx, нам необходимо ввести новые переменные u=x-x1v=y-y1, где (x1;y1) является решением системы уравнений a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0

    Введение новых переменных u=x-1v=y-2 в исходное уравнение y'=5x-y-33x+2y-7 позволяет нам получить уравнение вида dvdu=5u-v3u+2v.

    Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u. Также примем, что z=uv. Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u·dzdu=5-4z-2z23+2z.

    Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».

    Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y'+P(x)·y=Q(x)

    Приведем примеры таких уравнений.

    Пример 10

    К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка относятся:

    y'-2xy1+x2=1+x2;y'-xy=-(1+x)e-x

    Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y(x) = u(x)v(x). Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».

    Дифференциальное уравнение Бернулли y'+P(x)y=Q(x)ya

    Приведем примеры подобных уравнений.

    Пример 11

    К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:

    y'+xy=(1+x)e-xy23;y'+yx2+1=arctgxx2+1·y2

    Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z=y1-a, которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1-го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y(x) = u(x)v(x).

    Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.

    Уравнения в полных дифференциалах P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

    Если для любых значений x и y выполняется P(x,y)y=Q(x,y)x, то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y)=0, то есть, dU(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y)=0 по ее полному дифференциалу.

    Пример 12

    Выражение, расположенное в левой части записи уравнения (x2-y2)dx-2xydy=0 представляет собой полный дифференциал функции x33-xy2+C=0

    Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».

    Дифференциальные уравнения второго порядка

    Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  y''+py'+qy=0, p,qR

    Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k2+pk+q=0. Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q:

    • действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k1k2, k1, k2R;
    • действительные и совпадающие k1=k2=k, kR;
    • комплексно сопряженные k1=α+i·β, k2=α-i·β.

    Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

    • y=C1ek1x+C2ek2x;
    • y=C1ekx+C2xekx;
    • y=ea·x·(C1cos βx+C2sin βx).
    Пример 13

    Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами y''+3y'=0. Найдем корни характеристического уравнения k2+3k=0. Это действительные и различные k1 =-3 и k2=0. Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

    y=C1ek1x+C2ek2xy=C1e-3x+C2e0xy=C1e-3x+C2

    Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

    Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y''+py'+qy=f(x), p,qR

    Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y0, которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y''+py'+qy=0, и частного решения y~ исходного уравнения. Получаем: y=y0+y~.

    Способ нахождения y0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y~ мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x), которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.

    Пример 14

    К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами относятся:

    y''-2y'=(x2+1)ex;y''+36y=24sin(6x)-12cos(6x)+36e6x

    Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

    Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y''+p(x)·y'+q(x)·y=0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y''+p(x)·y'+q(x)·y=f(x)

    Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.

    На некотором отрезке [a; b] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y''+p(x)·y'+q(x)·y=0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y1 и y2 этого уравнения, то есть, y=C1y1+C2y2.

    Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:

    1) 1, x, x2, ..., xn2) ek1x, ek2x, ..., eknx3) ek1x, x·ek1x, ..., xn1·ek1x,ek2x, x·ek2x, ..., xn2·ek2x,...ekpx, x·ekpx, ..., xnp·ekpx4) 1, chx, shx

    Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.

    Пример 15

    Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение xy''-xy'+y=0.

    Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y''+p(x)·y'+q(x)·y=f(x) мы можем найти в виде суммы y=y0+y~, где y0 - общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y0 можно описанным выше способом. Определить y~ нам поможет метод вариации произвольных постоянных.

    Пример 16

    Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение xy''-xy'+y=x2+1.

    Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».

    Дифференциальные уравнения высших порядков

    Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

    Мы можем провести замену y(k)=p(x) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F(x, y(k), y(k+1), ..., y(n))=0, которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка.

    В этом случае y(k+1)=p'(x), y(k+2)=p''(x), ..., y(n)=p(n-k)(x), и исходное дифференциальное уравнение сведется к F1(x, p, p', ..., p(n-k))=0. После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене y(k)=p(x) и определить неизвестную функцию y.

    Пример 17

    Дифференциальное уравнение y'''xln(x)=y'' после замены y''=p(x) станет уравнением с разделяющимися переменными y''=p(x), и его порядок с третьего понизится до первого.

    В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F(y, y', y'', ..., y(n))=0, порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену dydx=p(y), где p(y(x)) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:

    d2ydx2=dpdydydx=dpdyp(y)d3ydx3=ddpdyp(y)dx=d2pdy2dydxp(y)+dpdydpdydydx==d2pdy2p2(y)+dpdy2p(y)
    Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

    Пример 18

    Рассмотрим решение уравнения 4y3y''=y4-1. Путем замены dydx=p(y) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4y3pdpdy=y4-1.

    Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».

    Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y(n)+fn-1·y(n-1)+...+f1·y'+f0·y=0 и y(n)+fn-1·y(n-1)+...+f1·y'+f0·y=f(x)

    Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:

    • находим корни характеристического уравнения kn+fn-1·kn-1+...+f1·k+f0=0;
    • записываем общее решение ЛОДУ y0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y=y0+y~, где y~ - частное решение неоднородного дифференциального уравнения. 

    Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y~ целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.

    Пример 19

    Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y(4)+y(3)-5y''+y'-6y=xcosx+sinx соответствует линейное однородное ДУ y(4)+y(3)-5y''+y'-6y=0.

    Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».

    Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+...+f1(x)·y'+f0(x)·y=0 и y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+...+f1(x)·y'+f0(x)·y=f(x)

    Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y=y0+y~, где y0 - общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ - частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

    y0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y1, y2, ..., yn, каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+...+f1(x)·y'+f0(x)·y=0 в тождество. Частные решения y1, y2, ..., yn обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

    После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y=y0+y~=Cj·yj+y~j=1n

    Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».

    Системы дифференциальных уравнений вида dxdt=a1x+b1y+c1dydt=a2x+b2y+c2

    Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,2 из 5 (17 голосов)