Дифференциальное уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение Бернулли

    Статья раскрывает методы решения дифференциального уравнения Бернулли. В заключении будут рассмотрены решения примеров с подробным объяснением.

    Приведение к линейному уравнению 1 порядка

    Определение 1

    Дифференциальное уравнение Бернулли записывается как y'+P(x)·y=Q(x)·yn. Если n=1, тогда его называют с разделяющими переменными. Тогда уравнение запишется как y'+P(x)·y=Q(x)·yy'=Q(x)-P(x)·y.

    Для того, чтобы решить такое уравнение, необходимо первоначально привести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению 1 порядка с новой переменной вида z=y1-n. Проделав замену, получаем, что y=z11-ny'=11-n·zn1-n·z'.

    Отсюда вид уравнения Бернулли меняется:

    y'+P(x)·y=Q(x)·yn11-n·z11-n·z'+P(x)·z11-n=Q(x)·z11-nz'+(1-n)·P(x)·z=(1-n)·Q(x)

    Этот процесс вычисления и подстановки способствует приведению к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка. В итоге проводим замену и получаем его решение.

    Пример 1

    Найти общее решение для уравнения вида y'+xy=(1+x)·e-x·y2.

    Решение

    По условию имеем, что n=2, P(x)=x, Q(x)=(1+x)·e-x. Необходимо ввести новую переменную z=y1-n=y1-2=1y, отсюда получим, что y=1zy'=-z'z2.  Провести замену переменных и получить ЛНДУ первого порядка. Запишем, как

    y'+xy=(1+x)·e-x·y2-z'z2+xz=(1+x)·e-x·1z2z'-xz=-(1+x)·e-x

    Следует проводить решение при помощи метода вариации произвольной постоянной.

    Проводим нахождение общего решения дифференциального уравнения вида:

    dzdx-xz=0dzz=xdx, z0dzz=xdxlnz+C1=x22+C2elnz+C1=ex22+C2z=C·ex22, C=eC2-C1

    Где z=0, тогда решение дифференциального уравнения считается z'-xz=0, потому как тождество становится равным нулю при нулевой функции z. Данный случай записывается как z=C(x)·ex22, где С=0.  Отсюда имеем, что общим решением дифференциального уравнения z'-xz=0 считается выражение z=C·ex22 при С являющейся произвольной постоянной.

    Необходимо варьировать переменную для того, чтобы  можно было принять
    z=C(x)·ex22 как общее решение дифференциального уравнения вида z'-xz=-(1+x)·e-x.

    Отсюда следует, что производится подстановка вида

    C(x)·ex22'-x·C(x)·ex22=-(1+x)·e-xC'(x)·ex22+C(x)·ex22'-x·C(x)·ex22=-1+x·e-xC'(x)·ex22+C(x)·x·ex22-x·C(x)·ex22=-(1+x)·e-xC'(x)·ex22=-(1+x)·e-x22-xC(x)=-(1+x)·e-x22-xdx=e-x22-xd-x22-x=e-x2x-x+C3

    С3 принимает значение произвольной постоянной. Следовательно:

    z=Cx·ex22=e-x22-x+C3·ex22=e-x+C3·ex22

    Дальше производится обратная замена. Следует, что z=1y считается за y=1z=1e-x+C3·ex22.

    Ответ: это решение считается решением исходного дифференциального уравнения Бернулли.

    Представление произведением функций u(x) и v(x)

    Имеется другой метод решения дифференциального уравнения Бернулли, который основывается на том, что функцию представляют при помощи произведения функций u(x) и v(x).

    Тогда получаем, что y'=(u·v)'=u'·v+u·v'. Производим подстановку в уравнение Бернулли y'+P(x)·y=Q(x)·yn и упростим выражение:

    u'·v+u·v'+P(x)·u·v=Q(x)·u·vnu'·v+u·(v'+P(x)·v)=Q(x)·u·vn

    Когда  в качестве функции берут  ненулевое частное решение дифференциального уравнения v'+P(x)·v=0, тогда придем к равенству такого вида

    u'·v+u·(v'+P(x)·v)=Q(x)·(u·v)nu'·v=Q(x)·(u·v)n.

    Отсюда следует определить функцию u.

    Пример 2

    Решить задачу Коши 1+x2·y'+y=y2·arctg x, y(0) = 1.

    Решение

    Переходим к нахождению дифференциального уравнения вида 1+x2·y'=y·arctg x, которое удовлетворяет условию y(0)=1.

    Обе части неравенства необходимо поделить на x2 + 1, после чего получим дифференциальное уравнение Бернулли y'+yx2+1=y2·arctg xx2+1.

    Перейдем к поиску общего решения.

    Принимаем y=u·v, отсюда получаем, что y'=u·v'=u'·v+u·v' и уравнение запишем  в виде

    y'+yx2+1=y2·arctg xx2+1u'·v+u·v'+u·vx2+1=u·v2·arctg xx2+1u'·v+u·v'+vx2+1=u2·v2·arctg xx2+1

    Проведем поиск частного решения с наличием разделяющих переменных v'+vx2+1=0, отличных от нуля. Получим, что

    dvv=-dxx2+1, v0dvv=-dxx2+1lnv+C1=-arctg x+C2v=C·e-arctg x, C=eC2-C1

    В качестве частного решения необходимо брать выражение вида v=e-arcrg x. Преобразуем и получим, что

    u'·v+u·v'+vx2+1=u2·v2·arcrg xx2+1u'·v+u·0=u2·v2·arctg xx2+1u'=u2·v·arctg xx2+1u'=u2·e-arctg x·arctg xx2+1duu2=e-arctg x·arctg xx2+1dx, u0duu2=e-arctg x·arctg xx2+1dxduu2=e-arctg x·arctg x d(arctg x)

    Имеем, что u=0 рассматривается как решение дифференциального уравнения. Далее необходимо решить каждый из полученных интегралов по отдельности.

    Интеграл с левой стороны, имеющего вид duu2, необходимо найти по таблице первообразных. Получаем, что

    duu2=-1u+C3.

    Чтобы найти интеграл вида e-arctg x·arctg x d(arctg x), принимаем значение arctg x=z и применяем метод интегрирования по частям. Тогда имеем, что

    e-arctg x·arctg x d(arctg x)=arctg x=z==e-z·z dz=u1=z, dv1=e-zdzdu1=dz, v1=-e-z==-z·e-z+e-zdz=-z·e-z-e-z+C4==-e-z·(z+1)+C4=-e-arctg x·(arctg x+1)+C4

    Следовательно

    -1u+C3=-e-arctg x·arctg x+1+C41u=e-arcrg x·arctg x+1+C3-C4u=1e-arcrg x·(arctg x+1)+C

    Отсюда находим, что

    y=u·v=e-arctg xe-arcrg x·(arctg x+1)+C и y=0·v=0·e-arcrg x=0 являются решениями дифференциального уравнения Бернулли вида y'+yx2+1=y2·arctg xx2+1.

    На данном этапе следует переходить к поиску частного решения, которое удовлетворяет начальному условию. Получим, что

    y=e-arctg xe-arctg x·arctg x+1+C, тогда запись примет вид y0=e-arctg 0e-arctg 0·arctg 0+1+C=11+C.

    Очевидно, что 11+C=1C=0. Тогда искомой задачей Коши будет являться полученное уравнение вида y=e-arctg xe-arctg x·arctg x+1+0=1arctg x+1.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    5,0 из 5 (19 голосов)