Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

    Оговорим сразу тот факт, что нахождение решения общего аналитического вида для линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков зачастую невозможно. В основном пользуются приближенными методами решения.

    Материал данной статьи представлен базовой теоретической информацией на тему решения ЛОДУ
    n-ого порядка записи y(n)+f(n-1)(x)·yn-1+...+f0(x)·y=0 и ЛНДУ n-ого порядка записи y(n)+f(n-1)(x)·yn-1+...+f0(x)·y=f(x).

    Сначала поговорим о линейных однородных дифференциальных уравнениях n-ого порядка, а затем займемся неоднородными ДУ.

    Линейные однородные дифференциальные уравнения

    Теорема 1

    Общее решение для линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка y(n)+f(n-1)(x)·yn-1+...+f0(x)·y=0 при непрерывных на интервале интегрирования 
    X коэффициентах f0(x), f1(x),..., fn-1(x) определяет линейная комбинация y0=j=1nCj·yj, в которой yj, j=1, 2,..., n являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ на X, а Cj, j=1, 2,..., n являются произвольными постоянными.

    Когда тождество a1·y1+a2·y2+...+an·yn0 верно только при нулевых коэффициентах a1=a2=...=an=0, функции yj, j=1, 2,..., n являются линейно независимыми на неком интервале X.

    Для линейно независимых функций yj, j=1, 2,..., n определитель Вронского при любых
    x из X  отличен от нуля:

    W(x)=y1y2yny'1y'2y'ny''1y''2y''ny1(n-1)y2(n-1)yn(n-1)0

    Тот факт, что определитель Вронского не равен нулю, возможно применять в качестве критерия линейной независимости функций на интервале.

    Каким же образом определяются yj, j=1, 2,..., n - линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка?

    В большинстве случаев данные функции возможно подобрать, используя стандартные системы линейно независимых функций:

    1) 1, x, x2,..., xn2) ek1·x, ek2·x,..., ekn·x3) ek1·x, x·ek1·x,..., xn1·ek1·x,    ek2·x, x·ek2·x,..., xn2·ek2·x,    ...    ekp·x, x·ekp·x,..., xnp·ekp·x

    Когда подобраны все n линейно независимые частные решения yj, j=1, 2,..., n,  возможно составить общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка y(n)+f(n-1)(x)·yn-1+...+f0(x)·y=0 - оно будет иметь запись  y0=j=1nCj·yj. Когда подобраны только несколько линейно независимых частных решений, мы можем понизить степень заданного уравнения при помощи замены. Детально этот пункт мы не будем рассматривать, в случае необходимости следует изучить дополнительные материалы по теме.

    Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

    Приступим к рассмотрению линейных неоднородных дифференциальных уравнений n-ого порядка записи y(n)+f(n-1)(x)·yn-1+...+f0(x)·y=f(x).

    Теорема 2

    Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения порядка n записи y(n)+f(n-1)(x)·yn-1+...+f0(x)·y=f(x) при непрерывных на интервале интегрирования X коэффициентах f0(x), f1(x),..., fn-1(x) и непрерывной функции f(x) определяется как сумма общего решения y0 соответствующего ЛОДУ и некоторого частного решения y~ заданного неоднородного уравнения: y=y0+y~.

    Нахождение y0 - общего решения соответствующего ЛОДУ n-ого порядка - было рассмотрено выше. Остается разобрать, как находится y~ - частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка.

    Иногда некое частное решение y~ бывает достаточно явным, то есть его возможно подобрать. Когда 
    y~ подобрать затруднительно, при этом определены n линейно независимых частных решений yj, j=1, 2,..., n соответствующего ЛОДУ,  общее решение исходного ЛНДУ n-ого порядка возможно определить при помощи метода вариации произвольных постоянных.

    В таком случае общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y(n)+f(n-1)(x)·yn-1+...+f0(x)·y=f(x) определяется как y=j=1nCj(x)·yj, а функции C1(x), C2(x), , Cn(x) находятся интегрированием после решения системы уравнений:

    j=1nCj'(x)·yj=0j=1nCj'(x)·y'j=0j=1nCj'(x)·y''j=0j=1nCj'(x)·yj(n-2)=0j=1nCj'(x)·yj(n-1)=0

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter