Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

    Материал данной статьи дает представление о дифференциальных уравнениях порядка выше второго с возможностью понизить порядок, используя замену. Подобные уравнения часто представлены  F(x, y(k), y(k+1),..., y(n))=0, не содержащими искомой функции и производных до k1 порядка, а также дифференциальными уравнениями записи F(y, y', y'',..., y(n))=0, не содержащими независимой переменной.

    Понижение порядка дифференциальных уравнений, не содержащих искомой функции и производных до 
    k1 порядка вида F(x, y(k), y(k+1),..., y(n))=0

    Мы имеем возможность понижения порядка дифференциального уравнения F(x, y(k), y(k+1),..., y(n))=0 до nk, используя замену переменных y(k)=p(x). Осуществив подобную замену, имеем:  y(k+1)=p'(x), y(k+2)=p''(x),..., y(n)=p(n-k)(x). Затем подставим полученный результат в исходное уравнение и увидим дифференциальное уравнение порядка nk с неизвестной функцией p(x).

    После нахождения p(x) функцию y(x) найдем из равенства y(k)=p(x) интегрированием k раз подряд.

    Для наглядности разберём решение такой задачи.

    Пример 1

    Задано дифференциальное уравнение 4y(4)-8y(3)+3y''=0. Необходимо найти его общее решение.

    Решение

    Произведя замену y''=p(x), получим возможность понизить порядок дифференциального уравнения с четвертого до второго. Итак, y(3)=p', y(4)=p'', и, таким образом, исходное уравнение четвертого порядка мы преобразуем в линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее постоянные коэффициенты 4p''-8p'+3p=0.

    Характеристическое уравнение будет записано так: 4k2-8k+3=0, а корни его -  k1=12 и k2=32, тогда общим решением дифференциального уравнения 4p''-8p'+3p=0 будет p(x)=C1·e12x+C2·e32x.

    Проинтегрируем два раза полученный результат и можем записать необходимое нам общее решение дифференциального уравнения четвертого порядка:

    y''=p(x)y'=p(x)dx=C1·e12x+C2·e32xdx==2C1·e12x+23C2·e32x+C3y=y'dx=2C1·e12x+23C2·e32x+C3dx==4C1·e12x+49C2·e32x+C3·x+C4

    Ответ: y=4C1·e12x+49C2·e32x+C3·x+C4 (С1, С2, С3 и С4 являются произвольными постоянными).

    Пример 2

    Задано общее дифференциальное уравнение третьего порядка y'''·x·ln(x)=y''. Необходимо найти его общее решение.

    Решение

    Осуществим замену y''=p(x), следовательно, y'''=p' , а заданное дифференциальное уравнение третьего порядка преобразуется в дифференциальное уравнение, имеющее разделяющиеся переменные записи p'·x·ln(x)=p.

    Осуществим разделение переменных и интегрирование:

    dpp=dxxln(x), p0dpp=dxxln(x)dpp=d(ln(x))ln(x)lnp+C1=lnln(x)+C2

    Последующее потенцирование с учетом того, что p(x)=0 тоже является решением, даст нам возможность получить общее решение дифференциального уравнения p'·x·ln(x)=p в записи p(x)=C·ln(x), в которой C будет произвольной постоянной.

    Поскольку в самом начале была использована замена y''=p(x), то y'=p(x)dx тогда: y'=C·ln(x)dx. Задействуем метод интегрирования по частям:

    y'=C·ln(x)dx=u=ln(x), dv=dxdu=dxx, v=x==C·x·ln(x)-xdxx=C·(x·ln(x)-x)+C3

    Произведем интегрирование повторно для получения общего решения заданного дифференциального уравнения третьего порядка:
    y=y'dx=C·x·ln(x)-x+C3dx==C·x·ln(x)dx-C·xdx+C3·dx==C·x·ln(x)dx-C·x22+C3·x==u=ln x, dv=xdxdu=dxx, v=x22==C·x22·ln x-xdx2-C·x22+C3·x+C4==C·x2ln(x)2-3x24+C3·x+C4

    Ответ: y=C·x2ln(x)2-3x24+C3·x+C4 (С, С3 и С4 являются произвольными постоянными).

    Понижение порядка дифференциальных уравнений, не содержащих независимую переменную, записи F(x, y(k), y(k+1),..., y(n))=0

    Теперь рассмотрим дифференциальные уравнения  F(y, y', y'',..., y(n))=0, не имеющие в своей записи независимую переменную.

    В данном случае снижение порядка на единицу возможно с использованием замены dydx=p(y). Опираясь на правило дифференцирования сложных функций, получим:

    d2ydx2=dpdydydx=dpdyp(y)d3ydx3=ddpdyp(y)dx=d2pdy2dydxp(y)+dpdydpdydydx==d2pdy2p2(y)+dpdy2p(y)...

    Подставив результат в заданное уравнение, получаем дифференциальное уравнение с порядком ниже на единицу.

    Рассмотрим данный алгоритм в решении конкретной задачи.

    Пример 3

    Задано дифференциальное уравнение 4y3y''=y4-1 и начальные условия: y(0)=2, y'(0)=122. Необходимо найти частное решение заданного уравнения.

    Решение

    Заданное уравнение не имеет в своем составе независимую переменную x, следовательно, мы можем снизить порядок уравнения на единицу, используя замену dydx=p(y).

    Тогда d2ydx2=dpdy·p(y). Произведем подстановку и получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными 4y3·dpdy·p(y)=y4-1.

    Осуществим интегрирование:

    4y3·dpdy·p(y)=y4-1p(y)dp=y4-14y3dy, y0p(y)dp=y4-14y3dyp2(y)2+C1=y28+18y2+C2p2(y)=14y4+8Cy2+1y2, C=C2-C1P(y)=±12y4+8Cy2+1y2

    Поскольку dydx=p(y), тогда y'=±12y4+8Cy2+1y2.

    Этап решения позволяет найти константу C, задействовав начальные условия y(0)=2, y'(0)=122:

    y'(0)=±12y4(0)+8Cy2(0)+1y2(0)122=±1224+8C22+12122=±125+16C21=±5+16C

    Крайнее равенство дает возможность сформулировать вывод:

    C=-14,а y'=-12y4+8Cy2+1y2 не удовлетворяет условиям задачи.

    Тогда

    y'=12y4+8Cy2+1y2=12y4+8·-14y2+1y2==12y4+2y2+1y2=12(y2-12)y2=12y2-1y

    При y2-1y0y-1; 0[1; +) получаем y'=12·y2-1y, откуда

    2ydyy2-1=dx2ydyy2-1=dxd(y2-1)y2-1=dxln(y2-1)+C3=x+C4y2-1=ex+C3=x+C4y2-1=x+C1, C5+C4-C2y=±ex+C5+1

    Область значений функции y=-ex+C5+1 - это (-,-1], и такой интервал не будет удовлетворять условию y2-1y0y-1; 0[1; +), а значит y=-ex+C5+1 не рассматриваем.

    Обратимся к начальному условию y(0)=2:

    y(0)=e0+C5+12=e0+C5+12=eC5+1С5=0

    Таким образом, y=ex+C5+1=ex+0+1=ex+1 - необходимое нам частное решение.

    При у2-1y<0y-; -10; 1 получим y'=-12·y2-1y, откуда y=±ex+C5+1. Область значений функции y=e-x+C5+1 - интервал [1,+), и такой интервал не будет удовлетворять условию y2-1y<0y-; -10; 1, тогда y=e-x+C5+1 не рассматриваем.

    Для функции y=e-x+C5+1 начальное условие y(0)=2 не будет удовлетворяться ни для каких С6, поскольку

    y(0)=-e0+C6+12=-eC6+1

    Ответ: y=ex+1.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    5,0 из 5 (6 голосов)