Признак делимости на 2: примеры, доказательство

Признак делимости на 2: примеры, доказательство

    Данный материал посвящен такому понятию, как признак делимости на 2. В первом пункте мы сформулируем его и приведем примеры – задачи, в которым нужно выяснить, делится ли конкретное число на 2. Затем мы докажем этот признак и поясним, какие еще существуют методы определения делимости на два чисел, заданных в виде значения выражений.

    Формулировка и примеры признака делимости на 2

    Чтобы лучше понять, что такое признаки делимости, нужно повторить тему, связанную с делимостью целых чисел. Определение основного понятия выглядит так:

    Определение 1

    Целое число, которое заканчивается цифрами 8, 6, 4, 2 и 0, может быть разделено на 2 без остатка. Если в конце числа стоит цифра 9, 7, 5, 3 или 1, то такое число делимостью на 2 не обладает.

    С помощью данного признака можно выявить делимость не только целого положительного (натурального), но и целого отрицательного числа, поскольку они тоже могут быть разделены на 2 без остатка.

    Приведем несколько примеров использования признака в задачах.

    Пример 1

    Условие: определите, какие из чисел 8, 946, 53, 10 900, 988 123 761 можно разделить на два.

    Решение

    Разумеется, мы можем просто разделить все эти числа на два в столбик и проверить, будет ли в конце остаток или нет. Но зная признак делимости на два, можно решить эту задачу гораздо быстрее.

    Три числа из перечисленных, а именно 8, -946 и 10 900, имеют в конце цифры 8, 6 и 0, значит, их деление на 2 возможно.

    Остальные числа (53 и 988 123 761) заканчиваются на 3 и 1, значит, нацело на два они не делятся.

    Ответ: на два можно разделить 8, 946 и 10 900, а все прочие заданные числа нельзя.

    Этот признак широко используется в задачах, где нужно раскладывать число на простые множители. Решим один такой пример.

    Пример 2

    Условие: выполните разложение 352 на простые множители.

    Решение

    Поскольку последняя цифра в исходном числе  2, то согласно признаку делимости, мы можем разделить его на два без остатка. Сделаем это: 352:2=176, а 352=2·176. Полученное число 176 тоже делится на два: 176:2=88, а 176=2·88. Это число тоже можно разделить: 88:2=44, 88=2·44 и 352=2·2·88=2·2·2·44. Продолжаем разложение: 44:2=22 и 44=2·22, следовательно, 352=2·2·2·44=2·2·2·2·22; потом 22:2=11, откуда 22=2·11 и 352=2·2·2·2·22=2·2·2·2·2·11. Наконец мы дошли до числа, которое на 2 не делится. Таблица простых чисел говорит нам, что это число является простым, значит, на этом разложение на множители заканчивается.

    Ответ: 352=2·2·2·2·2·11.

    Деление чисел на четные и нечетные основано как раз на том, делятся ли они на 2 или нет. Зная этот признак делимости, можно сказать, что все четные числа имеют в конце цифру 0, 2, 4, 6 или 8, а все нечетные – 1, 3, 5, 7 или 9.

    Как можно доказать признак делимости на 2

    Перед тем, как перейти непосредственно к доказательству этого признака, нам надо доказать дополнительное утверждение. Оно формулируется так:

    Определение 2

    Все натуральные числа, которые заканчиваются на нуль, могут быть разделены на два без остатка.

    Пользуясь правилом умножения натурального числа на 10, мы можем представить некое число a как a=a1·10. Число a1, в свою очередь, получится из a, если убрать у него последнюю цифру.

    Приведем примеры такого действия: 470=47·10, где a=470 и a1 =47; или же 38 010·10, здесь a=380 100 и a1=38 010. Второй множитель в этом произведении (10) может быть разделен на 2, значит, все произведение может быть разделено на 2. Это утверждение основано на соответствующем свойстве делимости.

    Переходим к доказательству признака делимости на 2. Чтобы было удобнее, представим его как теорему, т.е. как необходимое и достаточное условие делимости целого числа на два.

    Теорема 1

    Для деления целого числа a на два необходимым и достаточным условием является наличие последней цифры 0, 2, 4, 6 или 8.

    Доказательство 1

    Как доказать это утверждение? Для начала представим исходное число a в виде суммы десятков и единиц, т.е. запишем его как a=a1·10+a0. Здесь a1 будет числом, получившимся из a при устранении последней цифры, а a0 соответствует последней цифре данного числа (примерами такого представления также могут быть выражения 49=4·10+9, 28 378=2 837·10+8). Произведение a1·10, взятое из равенства a=a1·10+a0, всегда будет делиться на два, что и показано с помощью этой теоремы.

    Остальная часть доказательства основана на определенном свойстве делимости, а именно: если у нас есть три числа, образующие равенство t=u+v, и два из них делятся на целое число z, то и третье число также можно разделить на z.

    Если a можно разделить на два, то согласно этому свойству, а также представлению a=a1·10+a0, число a0 будет делиться на два, а такое возможно, только если a0= 0, 2, 4, 6 или 8.

    А если a на 2 не делится, то исходя из того же самого свойства, число a0 на 2 тоже делиться не будет, что возможно только при a0 = 1, 3, 5, 7 или 9. Это и есть нужное нам доказательство необходимости.

    Теперь разберем обратную ситуацию. Если у нас есть число a, последней цифрой которого является число 0, 2, 4, 6 или 8, то a0 делится на 2. Указанное свойство делимости и представление a=a1·10+a0 позволяют нам заключить, что a делится на 2. Если a имеет последнюю цифру 1, 3, 5, 7 или 9, то то a0 не делится на 2, значит, a тоже не делится на 2, иначе само представление a=a1·10+a0 делилось бы на 2, что невозможно. Достаточность условия доказана.

    В конце отметим, что числа с последней цифрой 1, 3, 5, 7 или 9 при делении на два всегда дают в остатке единицу.

    Возьмем случай, когда заданное число кончается одной из этих цифр. Тогда мы можем представить a как a=b+1, при этом число b будет иметь в качестве последней цифры 0, 2, 4, 6 или 8. В силу признака делимости на 2 число b можно разделить на 2, значит, по определению делимости оно также может быть представлено в виде b=2·q, где q будет некоторым целым числом. Мы получили, что a=2·q+1. Данное представление показывает нам, что при делении числа a на 2 получается неполное частное q и остаток 1 (если нужно, перечитайте статью о делении целых чисел с остатком).

    Прочие случаи определения делимости на 2

    В этом пункте мы разберем те случаи, когда число, делимость которого на 2 нужно определить, не задано непосредственно, а определяется некоторым значением буквенного выражения. Здесь воспользоваться признаком, приведенным выше, мы не можем, и непосредственно разделить это выражение на 2 тоже невозможно. Значит, нужно найти какое-то другое решение.

    Существует подход к решению таких задач, который основан на следующем свойстве делимости: произведение целых чисел можно разделить на некое число тогда, когда на него делится хотя бы один из множителей. Следовательно, если мы сможем преобразовать буквенное выражение в произведение отдельных множителей, один из которых делится на два, то тогда возможно будет доказать делимость на 2 и исходного выражения.

    Чтобы преобразовать заданное выражение, мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона. Посмотрим такую задачу.

    Пример 3

    Условие: определите, можно ли разделить на 2 значение выражения 3n+4n-1 для некоторого натурального n.

    Решение

    Сначала запишем очевидное равенство 3n+4n-1=2+1n+4n-1. Теперь берем формулу бинома Ньютона, применяем ее и упрощаем то, что у нас получилось:

    3n+4n-1=2+1n+4n-1==Cn0·2n+Cn1·2n-1·1++Cnn-2·22+1n-2+Cnn·2+1n-1+Cnn·1n++4n-1=2n+Cn1·2n-1++Cnn-2·22+n·2+1++4n-1=2n+Cn1·2n-1++Cnn-2·22+6n

    В последнем равенстве выносим два за скобки и получаем следующее равенство:

    3n+4n-1=2·2n-1+Cn1·2n-2++Cnn-2·2+3n

    В данном равенстве можно разделить правую часть на два при любом натуральном значении n, поскольку там есть множитель, равный 2. Поскольку между выражениями стоит знак равенства, то выполнить деление на 2 можно и для левой части.

    Ответ: данное выражение можно разделить на 2.

    Довольно часто доказать делимость можно с помощью метода математической индукции. Возьмем то же выражение, что и в примере выше, и покажем, как применить данный метод на практике.

    Пример 4

    Условие: выясните, будет ли выражение 3n+4n-1  делиться на 2 при любом натуральном значении n.

    Решение

    Используем математическую индукцию. Для начала докажем, что значение выражения 3n+4n-1 при n, равном единице, можно разделить на 2.  У нас получится 31+4·1-1=6, шесть делится на два без остатка. Идем дальше. Возьмем n, равное k, и сделаем предположение, что 3k+4k-1 делится на два.

    Используя данное предположение, докажем, что 3n+4n-1  можно разделить на 2, если это возможно для 3k+4k-1. Чтобы это доказать, нам нужно выполнить несколько преобразований.

    3·3k+4k-1  делится на два, поскольку это возможно для 3k+4k-1, выражение 2·4k-3 тоже можно поделить на 2, потому что у него есть множитель 2, значит, разность этих двух выражений тоже делится на 2, что объясняется соответствующим свойством делимости.

    Ответ: выражение 3n+4n-1 делится на 2 при любом натуральном n.

    Отдельно остановимся на случае, когда в произведении рядом стоят два числа, идущие друг за другом в натуральном ряду чисел. Такое произведение тоже делится на два.

    Пример 5

    К примеру, выражение вида  (n+7)·(n1)·(n+2)·(n+6) делится на 2 при любом натуральном значении n, поскольку в нем есть числа, идущие в натуральном ряду друг за другом – это n+6 и n+7.

    Точно также при наличии двух множителей, между которыми расположено четное число членов натурального ряда, произведение может быть разделено на 2. Так, на два делится значение (n+1)·(n+6) при любом натуральном n, поскольку между n+5 и n+6 расположено четное количество чисел: n+2, n+3, n+4 и n+5.

    Объединим все, о чем мы говорили в предыдущих пунктах. Если можно показать, что значение выражения делится на два при n=2·m, а также при n=2·m+1 и произвольном целом m, то это будет доказательством делимости исходного выражения на 2 при любых целых значениях n.

    Пример 6

    Условие: выясните, делится ли на 2 выражение n3+7·n2+16·n+12 при любых натуральных значениях n.

    Решение

    Сначала представим данное выражение в виде произведения (n+2)2·(n+3). При необходимости повторите, как правильно раскладывать многочлен на множители. Мы имеем два множителя n+2 и n+3, которые соответствуют числам, стоящим рядом в натуральном ряду. Одно из них в любом случае делится на 2, значит, и все произведение тоже делится на 2. То же относится и к исходному выражению.

    У этой задачи есть и другое решение. Если n=2·m , то n+22·n+3=2m+22·2m+22=4·m+12·2m+3 . Здесь есть множитель, равный четырем, благодаря чему все произведение будет делиться на 2.

    Если же n=2·m+1 , то

    (n+2)2·n+3=2m+1+22·2m+1+3=2m+32·2m+4==2m+32·2·2

    Здесь присутствует множитель 2, значит, все произведение обладает делимостью на 2.

    Ответ: это и есть доказательство того, что выражение n3+7·n2+16·n+12=(n+2)2·(n+3) можно разделить на два при любом натуральном значении n.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,7 из 5 (10 голосов)