Признаки делимости

Признаки делимости

    В этой статье мы поговорим о таком понятии, как признаки делимости. Это определенные действия, с помощью которых можно узнать, делится ли целое число a на другое число b, которое в данном случае будет целым положительным. При это само деление не проводится. Очевидно, что для изучения данных признаков необходимо иметь общее представление о делимости чисел.

    Когда мы говорим о признаках делимости, чаще всего нам приходится иметь дело не с самим числом, а с цифрами, из которых оно состоит.

    С помощью определенных признаков делимости можно заключить, что некое число a можно разделить на другое число. Для одних нам будет нужна последняя цифра в записи: так можно сделать вывод о делимости на 2, 5 и 10. Сформулируем эти признаки.

    Определение 1

    Те числа, в конце которых стоят цифры 0, 2, 4, 6, делятся на 2.

    Определение 2

    На 5 можно разделить те числа, которые заканчиваются на 5 и 0.

    Определение 3

    Все числа, заканчивающиеся на 0, можно разделить на 10.

    Приведем примеры.

    Пример 1

    Например, число 34 564 обладает делимостью на 2, поскольку в конце у него стоит 4. Число 567 разделить на 5 нельзя, потому что последняя цифра в нем не удовлетворяет нужным условиям. Число 89 120 мы можем разделить на 10, потому что оно заканчивается нулем.

    Другие признаки делимости требуют предварительного анализа не одной, а нескольких последний цифр числа.

    Признак делимости на 4 выглядит так:

    Определение 4

    Число можно разделить на 4, если двузначное число, образованное двумя последними цифрами в нем, делится на 4.

    Определение 5

    О признаке делимости на 8 мы говорим, когда число из трех последних цифр можно разделить на 8.

    Пример 2

    Вот примеры таких расчетов: 99 769 775 012 делится на 4, так как в конце у него стоит 12, а 45 907 нельзя разделить на 8: берем три последние цифры, убираем из них 0 и получаем 97. Без остатка на 8 это число разделить нельзя, значит, и 45 907 делимостью на 8 не обладает.

    Остальные признаки делимости требуют анализа сразу всех цифр в числе.

    Определение 6

    Число можно разделить на 3 или 9, если сумма всех цифр в нем делится на 3 или 9 соответственно.

    После вычисления суммы цифр, возможно, придется использовать указанные признаки делимости еще раз. Вот примеры таких вычислений.

    Пример 3

    Проверим, делится ли 1 001 103. Подсчитаем сумму цифр: 1+0+0+1+1+0+3=6. Шестерка делится на 3, значит, и все число тоже можно разделить на 3.

    Пример 4

    Число 65 051 991 можно разделить на 9, потому что суммой его цифр является 36: 6+5+0+5+1+9+9+1=36, а его можно разделить на 9.

    А вот пример последовательного применения признаков.

    Пример 5

    Проверим, можно ли разделить 879 901 831 799 782 на 3. Считаем сумму цифр и получаем 114. Для проверки делимости этого числа на 3 складываем цифры уже этого числа и получаем 6. Шесть можно разделить на 3, значит, 114 делится на 3 и 879 901 831 799 782 998 тоже делится на 3.

    В целом можно сказать, что с помощью признаков делимости можно перейти от анализа исходного числа к анализу меньшего числа, причем второе число мы проверяем, используя тот же самый признак делимости. Иначе говоря, в случае с длинными числами признаки нужно применять циклически для получения нужного результата.

    Есть и другие признаки делимости, которые объединяют в себе несколько других.

    Определение 7

    Чтобы узнать, делится ли число на 6, нужно объединить два признака делимости – на 2 и на 3.

    Определение 8

    Признаком делимости на 12 является соответствие двум другим признакам делимости – на 3 и 4.

    Пример 6

    К примеру, 78 804 заканчивается на 4, следовательно, его можно разделить на 2. Считаем сумму цифр и получаем 27. Это число можно разделить на 3, получается, что это можно сделать и с исходным числом. В итоге заключаем, что 78 804 делится без остатка на 6.

    Пример 7

    Число 208 436 316 можно разделить на 12, поскольку его цифры в сумме дают 33, что делится на 3, и две последние цифры образуют число 16, которое можно разделить на 4.

    Отметим, что иногда для проверки делимости требуется значительная вычислительная работа, что в некоторых случаях нецелесообразно. Иногда проще выполнить непосредственное деление, чтобы ответить на вопрос, делится ли это число на другое или нет.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,4 из 5 (8 голосов)