Признаки делимости на 10, 100, 1 000 и так далее, примеры, доказательства

Признаки делимости на 10, 100, 1 000 и так далее: примеры, доказательства

    Продолжаем разговор о признаках делимости. В этом материале мы изучим, по каким признакам можно определить делимость числа на 1000, 100 и т.д. В первом пункте сформулируем их, возьмем несколько примеров, после чего приведем необходимые доказательства. Ближе к концу мы разберем доказательства делимости на 1000, 100, 10 с помощью математической индукции и формулы бинома Ньютона.

    Формулировка признака делимости на 10, 100 и т.д. с примерами

    Сначала запишем формулировку признака делимости на десять:

    Определение 1

    Если число заканчивается на 0, то его можно разделить на 10 без остатка, а если на любую другую цифру, то нельзя.

    Теперь запишем признак делимости на 100:

    Определение 2

    На 100 без остатка можно разделить такое число, которое заканчивается двумя нулями. Если хотя бы одна из двух цифр в конце не равна нулю, то такое число разделить на 100 без остатка нельзя.

    Точно так же можно вывести признаки делимости на тысячу, 10 тысяч и так далее: в зависимости от количества нулей в делителе нам требуется соответствующее количество нулей в конце числа.

    Отметим, что данные признаки нельзя распространить на 0, поскольку 0 можно разделить на любое целое число – и на сто, и на тысячу, и на десять тысяч.

    Эти признаки легко применять в решении задач, ведь подсчитать количество нулей в исходном числе несложно. Возьмем несколько примеров применения данных правил на практике.

    Пример 1

    Условие: определите, какие числа из ряда 500, 1 010, 50 012, 440 000 300 000, 67 893 можно разделить на 10, 10 000 без остатка, а какие из них не делятся на 100.

    Решение

    Согласно признаку делимости на 10, мы можем совершить такое действие с тремя числами из указанных, а именно с 1 010, 440 000 300 000, 500, ведь они все заканчиваются нулями. А вот для 50 012 и 67 893 такого деления без остатка мы осуществить не можем, поскольку у них в конце стоят 2 и 3.

    На 10 тысяч здесь можно разделить всего одно число – 440 000 300 000, поскольку лишь в нем достаточно нулей в конце (4). Зная признак делимости на 100, можно сказать, что 1 010, 50 012 и 67 893 на сотню не делятся, поскольку в конце у них нет двух нулей.

    Ответ: на 10 можно разделить числа 500, 1 010, 440 000 300 000; на 10 000 – число 440 000 300 000; на 100 не делятся числа 1 010, 50 012 и 67 893.

    Как доказать признаки делимости на 10, 100, 1000 и др.

    Для доказательства нам потребуется вспомнить, как правильно умножать натуральные числа на 100, 10 и т.д., а также вспомнить, что из себя вообще представляет понятие делимости и какими свойствами оно обладает.

    Сначала приведем доказательство признака делимости числа на 10. Для удобства запишем его в виде теоремы, то есть представим как необходимое и достаточное условие.

    Определение 3

    Чтобы определить, делится ли целое число на 10, нужно посмотреть на его конечную цифру. Если она равна 0, то такое деление без остатка возможно, если она представляет из себя другую цифру, то нет.

    Начнем с доказательства необходимости данного условия. Допустим, нам известно, что некое число a можно разделить на 10. Докажем, что в конце у него стоит 0.

    Поскольку a можно разделить на 10, то согласно самому понятию делимости, должно существовать такое целое число q, при котором будет верным равенство a=10·q. Вспомним правило умножения на 10: произведение 10·q  должно быть целым числом, запись которого можно получить, если дописать к q справа нуль. Значит, в записи числа a=10·q  последним будет стоять 0. Необходимость можно считать доказанной, далее нам нужно доказать достаточность.

    Допустим, что у нас есть целое число с 0 на конце. Докажем, что оно делится на 10. Если последняя цифра целого числа равна нулю, то исходя из правила умножения на 10, его можно представить в виде a=a1·10. Здесь число a1 получается из a, в котором убрали последнюю цифру. По определению делимости из равенства a=a1·10  будет следовать делимость a на 10. Таким образом мы доказали достаточность условия.

    Точно так же доказываются и другие признаки делимости – на 100, 1000 и т.д.

    Прочие случаи делимости на 1000, 100, 10 и др.

    В данном пункте мы расскажем о других способах определения делимости на 10. Так, если изначально у нас задано не число, а буквенное выражение, то воспользоваться указанными выше признаками мы не можем. Здесь нужно применить другие методы решения.

    Первым таким методом является использование формулы бинома Ньютона. Решим такую задачу.

    Пример 2

    Условие: определите, можно ли разделить 11n+20n-21 на 10 при любом натуральном значении n.

    Решение

    Cначала представим 11 как сумму 10 и единицы, а потом воспользуемся нужной формулой.

    11n+20n-21=(10+1)n+20n-21==Cn0·10n+Cn1·10n-1·1+...+Cnn-2·102·10n-2+Cnn-1·10·1n-1+Cnn·1n++20n-21==10n+Cn1·10n-1·1+...+Cnn-2·102·n·10+1++20n-21==10n+Cn1·10n-1·1+...+Cnn-2·102+30n-20==10·10n-1+Cn1·10n-2+...+Cnn-2·101+3n-2

    Мы получили выражение, которое можно разделить на 10,поскольку там есть соответствующий множитель. Значение выражения в скобках будет представлять из себя натуральное число при любом натуральном значении n. Значит, исходное выражение 11n+20n-21 можно разделить на десять при любом натуральном n.

    Ответ: данное выражение делится на 10.

    Еще один метод, который возможно применить в данном случае, – математическая индукция. Покажем на примере задачи, как это делается.

    Пример 3

    Условие: выясните, будет ли 11n+20n-21 делится на 10 при любом натуральном n.

    Решение

    Применим метод математической индукции. Если n будет равен единице, то у нас получится 11n+20n-21=111+20·1-21=10. Деление десяти на десять возможно.

    Допустим, что выражение 11n+20n-21 будет делиться на 10 при n=k, то есть 11k+20k-21 можно разделить на 10.

    Учитывая предположение, сделанное ранее, попробуем доказать, что выражение 11n+20n-21 делится на 10 при n=k+1. Для этого нам нужно преобразовать его следующим образом:

    11k+1+20·k+1-21=11·11k+20k-1=11·11k+20k-21-200k+230==11·11k+20k-21-10·20k-23

    Выражение 11·11k+20k-21 в данной разности можно разделить на 10, поскольку такое деление возможно и для 11k+20k-21, а 10·20k-23 тоже делится на 10, потому что это выражение содержит множитель 10. Из этого мы можем заключить, что на 10 делится вся разность. Это и будет доказательством того, что 11n+20n-21 делится на 10 при любом натуральном значении n.

    Если нам нужно проверить, делится ли на 10 многочлен с переменной n, допускается следующий подход: доказываем, что при n=10·m, n=10·m+1, , n=10·m+9, где m – целое число, значение исходного выражения можно разделить на 10. Это докажет нам делимость такого выражения при любом целом n. Несколько примеров доказательств, где используется такой способ, можно найти в статье о других случаях делимости на три.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter