Делители и кратные числа: определения и примеры
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Делители и кратные числа: определения и примеры

    Эта статья посвящена делителям и кратным. Здесь мы объясним данные понятия, сформулируем определения, приведем примеры делителей и различных кратных чисел (рассмотрим пока только целые числа). Отдельно остановимся на делителях 1 и -1, а также делителях и кратных 0.

    Основные определения

    Для начала сформулируем определения для целого числа.

    Определение 1

    Делитель целого числа a есть такое число b, на которое можно разделить a без остатка.

    Если вспомнить такое понятие, как делимость, то данную формулировку можно слегка изменить.

    Определение 2

    Делитель целого числа a – это такое число b, которое в сочетании с некоторым числом q делает справедливым равенство a=b·q.

    Когда мы говорим о числе b, являющимся делителем целого числа a, это значит, что b делит a, что можно записать кратко как b|a или b\a.

    Согласно определению целых чисел, а также свойствам умножения целых чисел, любое целое число можно разделить на единицу и на себя, то есть a=a·1 и a=1·a. Зная свойства умножения, мы можем также вывести равенства a=(a)·(1) и a= (1)·(a). Из них следует, что у a будет еще два делителя, равных a и 1. Следовательно, целое число a мы всегда можем разделить на a, a, 1 и 1. К примеру, число 12 делится на 12, -12, 1 и -1.

    Остановимся на делителях таких чисел, как нуль, единица и минус единица. Поскольку нам знакомы свойства делимости, то мы можем заключить, что делителем 0 может стать любое целое число (включая сам 0), а единица и минус единица имеют только делители, равные 1 и 1 соответственно.

    Таким образом, 0 всегда будет иметь бесконечно большое число делителей в виде целых чисел (сюда входит и нуль), а у 1 и 1 будут только 2 делителя – единица и минус единица. Минимальное количество делителей для любого целого числа a равно четырем. В их число входят a, a, 1 и 1.

    Какие еще можно привести примеры делителей в случае с целыми числами?

    Пример 1

    Так, 8 можно разделить на -2, поскольку равенство 8= (2)·(4) верное (если нужно, повторите материал об умножении целых чисел). Восьмерку мы также можем разделить на 8, 4, 1, 1, 2, 4, 8, а вот -3 не входит в состав делителей, поскольку числа q, при котором равенство 8= (3)·q было бы верным, не существует. То есть разделить 8 на -3 мы можем только с остатком. Кроме указанных делителей, мы не можем разделить восьмерку ни на какие целые числа без остатка.

    Рассмотренные выше примеры говорят нам о том, что в качестве делителей целого числа могут выступать не только положительные, но и отрицательные целые числа. Эта возможность обоснована одним из свойств делимости: если b – делитель целого числа a, то и противоположное число -b тоже будет его делителем. Следовательно, можно разбирать только случаи с положительными делителями и просто распространять полученные результаты на отрицательные.

    Вспомним также и другое свойство делимости, которое гласит, что если целое число b будет делителем a, то a можно разделить и на -b, следовательно, множества делителей для положительного и отрицательного a будут совпадать. Это правило опять же подтверждает возможность работы только с положительными числами для простоты и краткости вычислений.

    Далее мы будем говорить лишь о положительных делителях целых положительных (натуральных) чисел.

    У единицы есть только один положительный делитель – сама единица. Этим 1 отличается от остальных натуральных чисел, поскольку другие имеют не меньше 2 делителей: кроме единицы их можно разделить на числа, равные им самим. В зависимости от того, имеются ли делители, отличные от самого числа и единицы, различают числа простые и составные.

    Наименьший положительный делитель числа a – это единица (если само число a не равно 1),
    а число a – наибольший положительный делитель самого себя (подробнее о сравнении трех и более натуральных чисел мы писали в отдельной статье). Таким образом, для любого натурального a положительный делитель b будет соответствовать условию 1ba. Важную роль здесь также играет наибольший общий делитель (НОД), о котором мы поговорим отдельно.

    Понятие кратных чисел

    Начнем, как всегда, с определения.

    Определение 3

    Число a называется кратным b, если его можно разделить на b без остатка.

    Другими словами, кратное b число является некоторым числом a, для которого будет верным равенство a=b·q (здесь q – некоторое целое число). Если у нас есть a, которое по отношению к b является кратным, мы говорим, что a кратно b. Записать это можно так: ab.

    Между кратным и делимым существует вполне определенная связь. На самом деле, если a является кратным b, то b будет делителем данного числа, и наоборот.

    Возьмем несколько примеров кратных чисел.

    Пример 2

    Так, -12 будет кратно трем, поскольку 12=3·(4). У тройки есть много других кратных, например, 0, 3, 3, 6, 6, 9, 9 и др. А 5 не будет кратным 3, поскольку нет такого q, при котором было бы верным равенство 7=3·q.

    Согласно определению кратных чисел, 0 будет кратным по отношению к любому b, в том числе и нулевому. Доказательством является равенство 0=b·0, ведь умножение любого числа на нуль дает в итоге нуль.

    Также уточним, что для любого целого числа b существует бесконечно много кратных, и любое целое число, соответствующее произведению b·q, где q – любое целое число, будет кратным b.

    Наименьшее положительное кратное положительного числа есть само это число. Обратите внимание, что наименьшее кратное в этом случае не нужно путать с наименьшим общим кратным для нескольких чисел (НОК).

    Далее будут рассмотрены другие случаи с натуральными кратными целых положительных чисел.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,5 из 5 (5 голосов)