Наименьшее общее кратное (НОК): определение, примеры и свойства

Наименьшее общее кратное (НОК): определение, примеры и свойства

    Приступим к изучению наименьшего общего кратного двух и более чисел. В разделе мы дадим определение термина, рассмотрим теорему, которая устанавливает связь между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем, приведем примеры решения задач.

    Общие кратные – определение, примеры

    В данной теме нас будет интересовать только общие кратные целых чисел, отличных от нуля.

    Определение 1

    Общее кратное целых чисел – это такое целое число, которое кратно всем данным числам. Фактически, это любое целое число, которое можно разделить на любое из данных чисел.

    Определение общих кратных чисел относится к двум, трем и большему количеству целых чисел.

    Пример 1

    Согласно данному выше определению для числа 12 общими кратными числами будут 3 и 2. Также число 12 будет общим кратным для чисел 2, 3 и 4. Числа 12 и -12 являются общими кратными числами для чисел ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

    В то же время общим кратным числом для чисел 2 и 3 будут числа 12, 6, 24, 72, 468, 100 010 004 и целый ряд любых других.

    Если мы возьмем числа, которые делятся на первое число из пары и не делятся на второе, то такие числа не будут общими кратными. Так, для чисел 2 и 3 числа 16, 27, 5 009, 27 001 не будут общими кратными.

    0 является общим кратным для любого множества целых чисел, отличных от нуля.

    Если вспомнить свойство делимости относительно противоположных чисел, то получается, что некоторое целое число k будет общим кратным данных чисел точно также, как и число k. Это значит, что общие делители могут быть как положительными, так и отрицательными.

    Для всех ли чисел можно найти НОК?

    Общее кратное можно найти для любых целых чисел.

    Пример 2

    Предположим, что нам даны k целых чисел a1, a2, , ak. Число, которое мы получим в ходе умножения чисел a1·a2··ak согласно свойству делимости будет делиться на каждый из множителей, который входил в изначальное произведение. Это значит, что произведение чисел a1, a2, , ak является наименьшим общим кратным для этих чисел.

    Сколько всего общих кратных могут иметь данные целые числа?

    Группа целых чисел может иметь большое количество общих кратных. Фактически, их число бесконечно.

    Пример 3

    Предположим, что у нас есть некоторое число k. Тогда произведение чисел k·z, где z – это целое число, будет являться общим кратным чисел k и z. С учетом того, что количество чисел бесконечно, то и количество общих кратных бесконечно.

    Наименьшее общее кратное (НОК) – определение, обозначение и примеры

    Вспомним понятие наименьшего числа из данного множества чисел, которое мы рассматривали в разделе «Сравнение целых чисел». С учетом этого понятия сформулируем определение наименьшего общего кратного, которое имеет среди всех общих кратных наибольшее практическое значение.

    Определение 2

    Наименьшее общее кратное данных целых чисел – это наименьшее положительное общее кратное этих чисел.

    Наименьшее общее кратное существует для любого количества данных чисел. Наиболее употребимой для обозначения понятия в справочной литературе является аббревиатура НОК. Краткая запись наименьшего общего кратного для чисел  a1, a2, , ak будет иметь вид НОК(a1, a2, , ak).

    Пример 4

    Наименьшее общее кратное чисел 6 и 7 – это 42. Т.е. НОК (6,7)=42. Наименьшее общее кратное четырех чисел -2, 12, 15 и 3 будет равно 60. Краткая запись будет иметь вид НОК (-2, 12, 15, 3)=60.

    Не для всех групп данных чисел наименьшее общее кратное очевидно. Часто его приходится вычислять.

    Связь между НОК и НОД

    Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель связаны между собой. Взаимосвязь между понятиями устанавливает теорема.

    Теорема 1

    Наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел a и b равно произведению чисел a и b, деленному на наибольший общий делитель чисел a и b, то есть, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b).

    Доказательство 1

    Предположим, что мы имеем некоторое число M, которое кратно числам a и b. Если число M делится на a, также существует некоторое целое число z, при котором справедливо равенство M=a·k. Согласно определению делимости, если M делится и на b, то тогда a·k делится на b.

    Если мы введем новое обозначение для НОД(a, b) как d, то сможем использовать равенства a=a1·d и b=b1·d. При этом оба равенства будут взаимно простыми числами.

    Мы уже установили выше, что a·k делится на b. Теперь это условие можно записать следующим образом:
    a1·d·k делится на b1·d, что эквивалентно условию a1·k делится на b1 согласно свойствам делимости.

    Согласно свойству взаимно простых чисел, если a1 и b1 – взаимно простые числа, a1 не делится на b1 при том, что a1·k делится на b1, то b1 должно делиться k.

    В этом случае уместно будет предположить, что существует число t, для которого k=b1·t, а так как b1=b:d, то k=b:d·t.

    Теперь вместо k подставим в равенство M=a·k  выражение вида b:d·t. Это позволяет нам прийти к равенству M=a·b:d·t. При t=1 мы можем получить наименьшее положительное общее кратное чисел a и b, равное a·b:d, при условии, что числа a и b положительные.

    Так мы доказали, что НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b).

    Установление связи между НОК и НОД позволяет находить наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель двух и более данных чисел.

    Определение 3

     Теорема имеет два важных следствия:

    • кратные наименьшего общего кратного двух чисел совпадает с общими кратными этих двух чисел;
    • наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.

    Обосновать эти два факта не составляет труда. Любое общее кратное M чисел a и b определяется равенством M=НОК(a, b)·t при некотором целом значении t. Так как a и b взаимно простые, то НОД(a, b)=1, следовательно, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)=a·b:1=a·b.

    Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел

    Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо последовательно найти НОК двух чисел.

    Теорема 2

    Предположим, что a1, a2, , ak – это некоторые целые положительные числа. Для того, чтобы вычислить НОК mk этих чисел, нам необходимо последовательно вычислить m2=НОК(a1, a2), m3=НОК(m2, a3), , mk=НОК(mk-1, ak).

    Доказательство 2

    Доказать верность второй теоремы нам поможет первое следствие из первой теоремы, рассмотренной в данной теме. Рассуждения строятся по следующему алгоритму:

    • общие кратные чисел a1 и a2 совпадают с кратными их НОК, фактически, они совпадают с кратными числа m2;
    • общие кратные чисел a1a2 и a3 совпадают с общими кратными чисел m2 и a3, следовательно, совпадают с кратными числа m3;
    • общие кратные чисел a1, a2, , ak совпадают с общими кратными чисел mk-1 и ak, следовательно, совпадают с кратными числа mk;
    • в связи с тем, что наименьшим положительным кратным числа mk является само число mk, то наименьшим общим кратным чисел a1, a2, , ak является mk.

    Так мы доказали теорему.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,2 из 5 (8 голосов)