Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

    Данная статья раскрывает смысл нахождения и алгоритм для общего решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с подробным просмотром их решений.

    Линейное однородное уравнение второго порядка имеет вид y''+p(x)·y'+q(x)·y=0, неоднородное - y''+p(x)·y'+q(x)·y=f(x). F(x), p(x) и q(x) являются функциями, которые непрерывны из интервала интегрирования x.  Частным случаем принято считать p(x) = p и q(x) = q, то есть при наличии постоянных в записи функции.

    Нахождение общего решения линейных дифференциальных уравнений

    Теорема 1

    Общее решение y0 для линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) вида y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+...+f0(x)·y=0 из интервала x при наличии постоянных коэффициентов f0(x), f1(x),..., fn-1(x), располагаемых на x, считают линейную комбинацию n линейно независимых частных решений ЛОДУ yj, j=1,2,..., n, где имеются произвольные коэффициенты Cj, j=1, 2,..., n,  то есть y0=j=1nCj·yj.

    Теорема 2

    Общим решением y для линейного неоднородного дифференциального уравнения вида y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+...+f0(x)·y=f(x) из интервала x при наличии коэффициентов f0(x), f1(x),..., fn-1(x) и функции f(x) является  сумма вида y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+...+f0(x)·y=0, где y~ считается одним из общих решений ЛНДУ.

    Отсюда следует, что

    • выражение y0=C1y1+C2y2  считается общим решением дифференциального уравнения y''+p(x)·y'+q(x)·y=0, а y1 и y2 считаются линейно независимыми частными решениями;
    • y=y0+y~ обозначают в качестве общего решения уравнения y''+p(x)·y'+q(x)·y=f(x), где y~ принимает одно из любых частных решений, y0 соответствует общему решению ЛОДУ.

    После чего необходимо находить y1y2 и y~.

    Если функции простые, то применяется метод подбора.

    Линейно независимые функции y1 и y2 находятся из

    1) 1, x, x2,..., xn2) ek1·x, ek2·x,..., ekn·x3) ek1·x, x·ek1·x,..., xn1·ek1·x,    ek2·x, x·ek2·x,..., xn2·ek2·x,    ...    ekp·x, x·ekp·x,..., xnp·ekp·x.

    Линейную независимость проверяют определителем Вронского вида W(x)=y1(x)y2(x)y1'(x)y2'(x). Когда функции располагаются на интервале х, тогда такой определитель не равен 0 на заданном промежутке.

    Когда имеются функции вида y1 = 1 и y2 = x, где x принадлежит множеству действительных чисел, то W(x)=1x1'x'=1x01=10xR.

    Функции вида y1=sinx и y2=cosx считаются линейно независимы на области действительных чисел, потому как W(x)=sin xcos x(sin x)'(cos x)'=sin xcos xcos x-sin x==-sin2x-cos2x=-10xR

    Функции y1=- x - 1 и y2=x + 1 считаются линейно независимыми из интервала (-; +)

    W(x)=-x-1x+1-x-1'(x+1)'=-x-1x+1-11==-x-1+x+1=0xR

    Не всегда можно подобрать y1, y2, y~. Поэтому следует использовать другой метод.  При наличии ненулевого частного решения y1 ЛОДУ второго порядка y''+p(x)·y'+q(x)·y=f(x), тогда общее решение находится понижением степени и подстановкой y=y1·u(x)dx.

    Пример 1

    Найти общее решение уравнение вида y''-y'+yx=0.

    Решение

    Частное решение записывается как y1 = x для дифференциального уравнения y''-y'+yx=0, когда x не равен 0. Необходимо перейти к понижению степени при помощи постановки. Тогда получим уравнение вида y=y1·u(x)dx=x·u(x)dx, а итоговое значение примет вид интеграла u(x)dx=yx.

    По правилу дифференцирования произведения и свойству неопределенного интеграла получаем выражение вида

    y'=x·u(x)dx'=x'·u(x)dx+x·u(x)dx'==u(x)dx+x·u(x)=yx+x·u(x)y''=u(x)dx+x·u(x)'=u(x)dx'+x'·u(x)+x·u'(x)==2u(x)+x·u'(x)

    Производим подстановку в исходное выражение. Запишем равенство вида:

    y''-y'+yx=02u+x·u'-yx-x·u+yx=02u+x·u'-x·u=0x·dudx+u·-x+2=0duu=1-2xdx, u=0

    Интегрируем обе части выражения и получаем, что lnu+C1=x-2lnx+C2lnu=x+ln1x2+C2-C1. Переходим  к записи общего вида выражения. Тогда она примет вид u=C·exx2 с C являющейся произвольной постоянной.

    Ответ: из выражения y=x·udx очевидно, что общее решение заданного ЛОДУ примет вид y=x·C·exx2dx=x·C·(F(x)+C3),  когда F(x) считается одной из первообразных функции exx2.

    Для решения неоднородного дифференциального уравнения y''+p(x)·y'+q(x)·y=f(x) нужно подбирать y~, если возможно найти y1 и y2. Поиск общего решения производится при помощи метода вариации произвольных постоянных.

    В таком случаем ЛОДУ принимает вид y0=C1y1+C2y2. Преобразовывая произвольные постоянные для общего решения, ЛНДУ принимает вид y0=C1(x)y1+C2(x)y2, где производные неизвестных функций C1(x) и C2(x) можно определить из системы вида C1'(x)·y1+C2'(x)·y2=0C1'(x)·y1'+C2'(x)·y2'=f(x), а получение самих функций производится путем интегрирования.

    Пример 2

    Найти общее решение уравнения y''-y=2x.

    Решение

    Для решения необходимо обратить внимание на его частные решения. Для ЛОДУ y''-y=0 они  являются y1=e-x и y2=ex, то есть выражение вида y0=C1·e-x+C2·ex. Изменяя постоянные, общее решение получит вид

    y=C1(x)·e-x+C2(x)·ex.

    Необходимо составить систему линейных уравнений и решить

    C1'(x)·y1+C2'(x)·y2=0C1'(x)·y1'+C2'(x)·y2'=f(x)C1'(x)·e-x+C2'(x)·ex=0-C1'(x)·e-x+C2'(x)·ex=2x

    Чтобы разрешить ее, следует применить метод Крамера. Тогда

    =e-xex-e-xex=e-x·ex+e-x·ex=2C1'(x)=0ex2xex=-(2e)xC1'(x)=C1'(x)=-12·2exC2'(x)=e-x0-e-x2x=2exC2'=C2'(x)=12·2ex

    После интегрирования полученных выражений для того, чтобы найти C1(x) и C2(x), запишем, что

    C1(x)=-12·(2e)xdx=-12·(2e)xln(2e)+C3==-12·(2e)xln 2+1+C3C2(x)=12·2exdx=12·1ln2e·2ex+C4==12·1ln 2-1·2ex+C4

    Ответ: общим решением для заданного уравнения получим уравнение вида

    y=-12·(2e)xln 2+1+C3·e-x+12·1ln 2 -1·2ex+C4·ex.

    Итоги

    • Поиск общего решения ЛОДУ 2 порядка y''+p(x)·y'+q(x)·y=0 выполняется  из y0=C1y1+C2y2, где y1 и y2 считаются линейно независимыми частными решениями. Для подбора частных решений y1 и y2 чаще всего начинается с нахождения общего дифференциального уравнения y''+p(x)·y'+q(x)·y=0. Когда подбор невозможен, тогда производится снижение порядка  с помощью замены y=y1·u(x)dx, причем его решение приведет к общему виду ЛОДУ второго прядка.
    • Поиск общего решения ЛНДУ 2 порядка вида y''+p(x)·y'+q(x)·y=f(x) производится  с помощью y=y0+y~, где y~ является любым частным решением, а y0 считают в качестве общего решения ЛОДУ. Нахождение y0, то есть общего дифференциального уравнения y''+p(x)·y'+q(x)·y=0, производится первоначально. После чего производится подбор y~. Если необходимо, то в начале производится подбор y1 и y2 для определения общего решения ЛНДУ с помощью применения метода вариации произвольных постоянных.
    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter