Действия с рациональными числами: правила, примеры, решения, арифметические действия с рациональными числами

Действия с рациональными числами: правила, примеры, решения

    Ниже рассмотрим правила основных математических действий над рациональными числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Разберем теорию на практических примерах.

    Действие сложения рациональных чисел

    Рациональные числа содержат натуральные, тогда смысл действия сложения рациональных чисел сопоставим со смыслом сложения натуральных. Например, сумму рациональных чисел, записанную как 5+1 4возможно описать следующим образом: к 5 целым предметам добавили четверть такого предмета, после чего полученное количество рассматривается совместно.

    Сформулируем правила сложения рациональных чисел:

    Сложение нуля с отличным от него рациональным числом

    Определение 1

    Прибавление нуля к любому числу дает то же число. Данное правило возможно записать в виде равенства: a + 0 = a (для любого рационального числа а). Используя переместительное свойство сложения, получим также верное равенство: 0 + a = a.

    Пара простых примеров: сумма рационального числа 2,1 и числа 0 равно 2,1 и: 645+0 = 645.

    Сложение противоположных рациональных чисел

    Определение 2

    Сумма противоположных чисел равна нулю.

    Данное правило можно записать в виде: a+(-a)=0 (для любого рационального числа a).

    К примеру, числа 45,13 и -45,13 являются противоположными, т.е. их сумма равно нулю: 45,13+(-45,13) = 0.

    Сложение положительных рациональных чисел

    В виде обыкновенной дроби возможно представить любое положительное рациональное число и использовать далее схему сложения обыкновенных дробей.

    Пример 1

    Необходимо произвести сложение рациональных чисел: 0,6 и 59.

    Решение

    Выполним перевод десятичной дроби в обыкновенную и тогда: 0,6 + 59 = 610 + 59.

    Осуществим сложение дробей с разными знаменателями:

    610+59= 5490+ 5090= 10490=1745

    Ответ: 0,6 + 59= 1745.

    Рациональные числа, которые подвергают действию сложения, возможно записать в виде конечных десятичных дробей или в виде смешанных чисел и, таким образом, осуществить сложение десятичных дробей и смешанных чисел соответственно.

    Сложение рациональных чисел с разными знаками

    Определение 3

    Для того, чтобы осуществить сложение рациональных чисел с разными знаками, необходимо из бОльшего модуля слагаемых вычесть меньший и перед полученным результатом поставить знак того числа, модуль которого больше.

    Пример 2

    Необходимо осуществить сложение рациональных чисел с разными знаками 8,2 и -234 .

    Решение

    Согласно исходным данным, необходимо произвести сложение положительного числа с отрицательным. Придерживаясь вышеуказанного правила, определим модули заданных чисел: |8,2| = 8,2 и|-234|=234. Проведя сравнение модулей - рациональных чисел, получим: 8,2 > 234 и соответственно поймем, какое число из заданных станет уменьшаемым, а какое - вычитаемым. Произведем вычитание смешанных чисел, т.е.: 8,2-234= 8210- 234= 59 20.

    Полученному результату присваивается знак плюс, т.к. бОльшее из слагаемых по модулю – положительное число. Ответ: 8,2 +(-234)= 5920.

    Сложение отрицательных рациональных чисел

    Определение 4

    Для того, чтобы произвести сложение отрицательных рациональных чисел, необходимо сложить модули заданных слагаемых, затем полученному результату присвоить знак минус.

    Пример 3

    Необходимо произвести сложение чисел: -4,0203 и -12,193.

    Решение

    Модули заданных чисел соответственно равны: 4,0203 и 12,193. Сложим их:

    ​​​​​​

    Полученному результату присваиваем знак минус: -16,2133.

    Ответ: (-4,0203)+(-12,193) =-16,2133.

    Действие вычитания рациональных чисел

    Вычитание – действие, обратное сложению, в котором мы находим неизвестное слагаемое по сумме и известному слагаемому. Тогда из равенства c+b=a следует, что a-b=c и a-c=b. И наоборот: из равенств a-b =c и a-c=b следует, что c+b=a.

    Определение 5

    При вычитании из бОльшего положительного рационального числа мы либо производим вычитание обыкновенных дробей, либо, если это уместно, вычитание десятичных дробей или смешанных.

    Пример 4

    Необходимо вычислить разность рациональных чисел: 4,(36) 15.

    Решение

    Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную: 4,(36) = 4+(0,36 + 0,0036 +)= 4+0,361-0,01=4 + 3699=4+ 411= 4411

    Далее переходим к действию вычитания обыкновенной дроби из смешанного числа: 4, (36)-15= 4411- 15=4 + 411-15=4+2055- 1155=4+955=4955

    Ответ: 4,(36)-15= 4955

    Определение 6

    В прочих случаях вычитание рациональных чисел необходимо заменить сложением: к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: ab=a+(-b).

    Указанное равенство можно доказать, опираясь на свойства действий с рациональными числами. Они дают возможность записать цепочку равенств: (a+(-b))+b=a+((-b)+b)=a+0=a. Отсюда в силу смысла действия вычитания следует, что сумма a+(-b) есть разность чисел a и b.

    Пример 5

    Необходимо из рационального числа 27 вычесть рациональное число 537

    Решение

    Согласно последнему указанному правилу используем для дальнейших действий число, противоположное вычитаемому, т.е. -537. Тогда: 27-537=27+-537

    Далее произведем сложение рациональных чисел с разными знаками: 27+-537=-537-27=-537-27= -517

    Ответ:27+-537=-517

    Действие умножения рациональных чисел

    Общее понятие числа расширяется от натуральных чисел к целым, так же как от целых к рациональным. Все действия с целыми числами имеют те же свойства, что и действия с натуральными. В таком случае, и действия с рациональными числами также должны характеризоваться всеми свойствами действий с целыми числами. Но для действия умножения рациональных чисел присуще дополнительное свойство: свойство умножения взаимообратных чисел. Вышесказанному соответствуют все правила умножения рациональных чисел. Укажем их.

    Умножение на нуль

    Определение 7

    Произведение любого рационального числа a на нуль есть нуль.

    Т.е. a·0=0.

    Используя переместительное свойство умножения, получим: 0·а=0.

    К примеру, умножение рационального числа 713 на 0 даст 0. Перемножив отрицательное рациональное число -718 и нуль, также получим нуль. В частном случае, произведение нуля на нуль есть нуль: 0·0=0.

    Умножение на единицу

    Определение 8

    Умножение любого рационального числа a на 1 дает число a.

    Т.е. a·1=a или 1 · a = a (для любого рационального a). Единица здесь является нейтральным числом по умножению.

    К примеру, умножение рационального числа 5,46 на 1 даст в итоге число 5,46.

    Умножение взаимообратных чисел

    Определение 9

    Если множители есть взаимообратные числа, то результатом их произведения будет единица. Т.е. : а·а-1=1.

    К примеру, результатом произведения чисел 56 и 65 будет единица.

    Умножение положительных рациональных чисел

    В общих случаях умножение положительных рациональных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. Первым действием множители представляются в виде обыкновенных дробей, если заданные числа таковыми не являются.

    Пример 6

    Необходимо вычислить произведение положительных рациональных чисел 0,5 и 625.

    Решение

    Представим заданную десятичную дробь в виде обыкновенной 0,5 = 510= 12.

    Далее произведем умножение обыкновенных дробей: 12 · 625= 650= 325.

    Ответ: 0,5 ·625= 325

    Можно также работать и с конечными десятичными дробями. Удобнее будет в данном случае не переходить к действиям над обыкновенными дробями.

    Пример 7

    Необходимо вычислить произведение рациональных чисел 2,121 и 3,4.

    Решение

    Перемножим десятичные дроби столбиком:

    Ответ: 2,121 · 3,4 = 7,2114

    В частных случаях нахождение произведения рациональных чисел представляет собой умножение натуральных чисел, умножение натурального числа на обыкновенную или десятичную дробь.

    Умножение рациональных чисел с разными знаками

    Определение 10

    Чтобы найти произведение рациональных чисел с разными знаками, необходимо перемножить модули множителей и полученному результату присвоить знак минус.

    Пример 8

    Необходимо найти произведение чисел: -338и 212

    Решение

    Согласно вышеуказанному правилу получим: -338·212=-338·212=-338·212

    Заменим смешанные дроби неправильными и найдем искомое произведение: -338·212=-278·52=-13516=-8716

    Ответ: -338·212=-8716

    Умножение отрицательных рациональных чисел

    Определение 11

    Для того, чтобы найти произведение отрицательных рациональных чисел, необходимо перемножить модули множителей.

    Пример 9

    Необходимо найти произведение отрицательных рациональных чисел -3,146 и -56.

    Решение: модули заданных чисел соответственно равны 3,146 и 56.

    Перемножим их столбиком:

    Полученный результат и будет являться искомым произведением.

    Ответ: (-3,146) · (-56) = 176,176

    Деление рациональных чисел

    Деление – действие, обратно умножению, в ходе которого мы находим неизвестный множитель по заданному произведению и известному множителю. Смысл действия деления можно записать так: из равенства b·c =a следует, что a:b =c и a:c=b. И наоборот: из равенств a:b=c и a:c=b следует, что b·c=a.

    На множестве рациональных чисел деление не считается самостоятельным действием, поскольку оно производится через действие умножения. Собственно, этот смысл заложен в правило деления рациональных чисел.

    Определение 12

    Разделить число а на число b, отличное от нуля – то же самое, что умножить число a на число, обратное делителю. Т.е., на множестве рациональных чисел верно равенство: a:b=a·b-1.

    Указанное равенство доказывается просто: на основе свойств действий с рациональными числами справедливой будет цепочка равенств (a·b-1)· b=a·(b-1·b)=a·1=a, которая и доказывает равенство a : b = a · b-1.

    Таким образом, деление рационального числа на другое рациональное число, отличное от нуля, сводится к действию умножения рациональных чисел.

    Пример 10

    Необходимо выполнить действие деления 313:-116

    Решение

    Определим число, обратное заданному делителю. Запишем заданный делитель в виде неправильной дроби: -116= -76.

    Число, обратное этой дроби, будет: -67. Теперь, согласно вышеуказанному правилу, произведем действие умножения рациональных чисел: 313-116=313·-67=103·(-67) =-(103·67)=-207= -267

    Ответ: 313:-116=-267

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,7 из 5 (7 голосов)