Деление натуральных чисел с остатком: правило, примеры решений

Деление натуральных чисел с остатком: правило, примеры решений

    Многие числа нельзя разделить нацело, при делении часто присутствует остаток, отличный от нуля. В этой статье мы разберем способы деления натуральных чисел с остатком и подробно рассмотрим их применение на примерах.

    Начнем с деления натуральных чисел с остатком в столбик, затем рассмотрим деление с помощью последовательного вычитания. Наконец, закончим разбором метода подбора неполного частного. Приведем алгоритм деления с остатком для наиболее общего случая и покажем, как проводить проверку результата деления натуральных чисел с остатком.

    Деление натуральных чисел столбиком с остатком

    Это один из самых удобных способов деления. Подробно он описан в отдельной статье, посвященной делению натуральных чисел столбиком. Здесь мы не будем приводить всю теорию заново, но сконцентрируемся именно на случае деления с остатком.

    Приведем решение примера, так как понять суть метода проще всего на практике.

    Пример 1. Как делить натуральные числа с остатком?

    Разделим натуральное число 273844 на натуральное число 97.

    Проводим деление столбиком и записываем:

    Результат: неполное частное от деления равно 2823, а остаток равен 13.

    Деление чисел с остатком через последовательное вычитание

    Чтобы найти неполное частное и остаток, можно прибегнуть к последовательному вычитанию делителя из делимого. Этот способ не всегда целесообразен, однако в некоторых случаях его очень удобно применять. Вновь обратимся к примеру.

    Пример 2. Деление с остатком через последовательное вычитание.

    Пусть у нас есть 7 яблок. Нам нужно эти 7 яблок разложить в пакеты по 3 яблока. Иными словами, 7 разделить на 3.

    Возьмем из начального количества яблок 3 штуки и положим в один пакет. У нас останется 7-3=4 яблока. Теперь, из оставшихся яблок снова отнимаем 3 штуки и кладем уже в другой пакет. Остается 4-3=1 яблоко. 

    1 яблоко - это остаток от деления, так как на этом этапе мы уже не можем сформировать еще один пакет с тремя яблоками и деление, по сути, завершено. Результат деления:

    7÷3=2 (остаток 1)

    Это значит, что число 3 как бы умещается в числе 7 два раза, а единица - остаток, меньший чем 3

    Рассмотрим еще один пример. На этот раз, приведем только математические выкладки, не прибегая к аналогиям.

    Пример 3. Деление с остатком через последовательное вычитание.

    Вычислим: 145÷46.

    145-46=99.

    Число 99 больше, чем 46, поэтому продолжаем последовательное вычитание делителя:

    99-46=53.

    Повторяем эту операцию еще раз:

    53-46=7

    В результате, нам понадобилось последовательно вычесть делитель из делимого 3 раза до того, как мы получили остаток - результат вычитания, который меньше делителя. В нашем случае остатком является число 7.

    145÷46=3 (остаток 7).

    Метод последовательного вычитания непригоден, когда делимое меньше делителя. В таком случае можно сразу записать ответ: неполное частное равно нулю, а остаток равен самому делимому.

    Если a<b, то a÷b=0 (остаток a).

    Например:

    12÷36=0 (остаток 12)47÷88=0 (остаток 47) 

    Также касательно метода последовательного вычитания нужно отметить, что он удобен только в случаях, когда вся операция деления сводится к небольшому количеству вычитаний. Если делимое во много раз больше делителя, использование этого метода будет нецелесообразно и связано с множеством громоздких вычислений.

    Метод подбора неполного частного

    При делении натуральных чисел с остатком можно вычислить результат методом подбора неполного частного. Покажем, как можно вести процесс подбора, и на чем он основан.

    Во-первых, определим, среди каких чисел нужно искать неполное частное. Из самого определения процесса деления понятно, что неполное частное равно нулю, либо является одним из натуральных чисел 1, 2, 3 и т.д.

    Во-вторых, установим связь между делителем, делимым, неполным частным и остатком. Рассмотрим уравнение d=a-b·c. Здесь d - остаток от деления, a - делимое, b - делитель, с - неполное частное. 

    В-третьих, не будем забывать, что остаток всегда меньше делителя.

    Теперь рассмотрим непосредственно процесс подбора. Делимое a и делитель b известны нам с самого начала. В качестве неполного частного с будем последовательно принимать числа из ряда 0, 1, 2, 3 и т.д. Применяя формулу d=a-b·c и вычисляя полученное значение с делителем, закончим процесс, когда остаток d будет меньше, чем делитель b. Число, взятое за с на этом шаге и будет неполным частным. 

    Разберем применение этого метода на примере.

    Пример 4. Деление с остатком методом подбора

    Разделим 267 на 21.

    a=267; b=21. Подберем неполное частное.

    Используем формулу d=a-b·c и будем последовательно перебирать c, придавая ему значения 0, 1, 2, 3 и т.д.

    Если с=0, имеем: d=a-b·c=267-21·0=267. Число 267 больше, чем 21, поэтому продолжаем подстановку.

    При с=1 имеем: d=a-b·c=267-21·1=246. Т.к. 246>21, снова повторяем процесс.

    При с=2 имеем: d=a-b·c=267-21·2=267-42=225; 225>21.

    При с=3 имеем: d=a-b·c=267-21·3=267-63=204; 204>21.

    ...

    При с=12 имеем: d=a-b·c=267-21·12=267-252=15;15<21.

    На этом этапе процесс деления можно считать законченным. Неполное частное с=12, а остаток деления равен 15.

    Алгоритм деления натуральных чисел с остатком

    Когда рассмотренные выше методы подбора неполного частного и последовательного вычитания требуют слишком громоздких вычислений, для деления с остатком применяется следующий метод. Рассмотрим алгоритм деления натурального числа a на число b с остатком.  

    Вспомним, что в случае, когда a<b, неполное частное равно нулю, а остаток равен делимомому a. Мы будем рассматривать случай, когда a>b.

    Сформулируем три вопроса и ответим на них:

    1. Что там известно?
    2. Что нам нужно найти?
    3. Как мы будем это делать?

    Изначально известными являются делимое и делитель: a и b.

    Найти нужно неполное частное c и остаток d

    Приведем формулу, которая задает связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком. a=b·c+d. Именно это соотношение мы и возьмем за основу алгоритма деления натуральных чисел с остатком. Делимое a нужно представить в виде суммы a=b·c+d, тогда мы найдем искомые величины.

    Алгоритм деления, благодаря которому мы представим a в виде суммы a=b·c+d очень схож с  алгоритмом деления натуральных чисел без остатка. Приведем ниже шаги алгоритма на примере деления числа 899 на 47.

    1. Первым делом смотрим на делимое и делитель. Выясняем и запоминаем, на сколько знаков число в записи делимого больше числа в делителе. В нашем конкретном примере в делимом три знака, а в делителе - два. 

    3-2=1

    Запомним это число.

    2. Справа в записи делителя допишем число нулей, определенное разницей между количеством знаков в делимом и делителе. В нашем случае нужно дописать один нуль. Если записанное число больше делимого, то нужно из запомненного в первом пункте числа вычесть единицу. 

    В нашем примере справа от 47 дописываем нуль. Так как 470<899, запомненное в предыдущем пункте число не нужно уменьшать на единицу. Таким образом, число 1 так и остается у нас в памяти.

    3. Справа к цифре 1 приписываем количество нулей, равное числу, определенному в предыдущем пункте. В нашем примере, приписывая к единице один нуль, получаем число 10. В результате данного действия мы получили рабочую единицу разряда, с которым будем работать дальше.

    4. Будем последовательно умножать делитель на  1, 2, 3.. и т.д. единицы рабочего разряда, пока не получим число, которое больше или равно делимому. 

    Рабочий разряд в нашем примере - десятки. После умножения делителя на одну единицу рабочего разряда, получаем 470.

    470<899, поэтому умножаем на еще одну единицу рабочего разряда. Получаем: 47·20=940; 940>899.

    Число, которое мы получили на предпоследнем шаге (470=47·10) является первым из искомых слагаемых.

    5. Найдем разность между делимым и первым найденным слагаемым. Если полученное число больше делителя, то переходим к нахождению второго слагаемого. 

    Шаги 1-5 повторяем, однако в качестве делимого принимаем полученное здесь число. Если снова получаем число, большее, чем делитель, снова по-кругу повторяем пункты  1-5, но уже с новым числом в качестве делимого. Продолжаем, пока полученное здесь число не будет меньше делителя. Переходим к завершающему этапу. Забегая вперед, скажем, что последнее полученное число и будет равно остатку.

    Обратимся к примеру. 899-470=429, 429>47. Повторяем шаги 1-5 алгоритма с числом 429, взятым в качестве делимого.

    1. В записи числа 429 на один знак больше, чем в записи числа 47. Запоминаем разницу - число 1.

    2. В записи делимого справа дописываем один нуль. Получаем число 470. Так как 470>429, из запомненного в предыдущем пункте числа 1 вычитаем 1 и получаем 1-1=0. Запоминаем 0.

    3. Так как в предыдущем пункте мы получили число 0 и запомнили его, нам не нужно прибавлять ни одного нуля к единице справа. Таким образом, рабочим разрядом являются единицы

    4. Последовательно умножим делитель 47 на 1, 2, 3 .. и т.д. Не будем приводить подробные выкладки, а обратим внимание на конечный результат: 47·9=423<42947·10=470>429. Таким образом, второе искомое слагаемое - 47·9=423.

    5. Разность между 429 и 423 равна числу 6. Так как 6<47, это третье, и последнее искомое слагаемое. Перейдем к завершающему этапу алгоритма деления столбиком.

    6. Целью предыдущих действий было представление делимого в виде суммы нескольких слагаемых. Для нашего примера мы получили 899=470+423+6. Вспоминаем, что 470=47·10, 423=47·9. Перепишем равенство:

    899=47·10+47·9+6

    Применим распределительное свойство умножения.

    899=47·10+47·9+6=47·(10+9)+6

    899=47·19+6.

    Таким образом, мы представили делимое в виде уже данной ранее формулы a=b·c+d.

    Искомые неизвестные:неполное частное с=19, остаток d=6.

    Безусловно, при решении практических примеров нет нужды расписывать все действия так подробно. Покажем это:

    Пример 5. Деление натуральных чисел с остатком

    Разделим числа 42252 и 68.

    Используем алгоритм. Первые пять шагов дают первое слагаемое - число 40800=68·600.

    Снова повторяем первые пять шагов алгоритма с числом 1452=42252-40800 и получаем второе слагаемое 1360=68·20

    Третий раз проходим шаги аглоритма, но у же с новым числом 92=1452-1360. Третье слагаемое равно 68=68·1. Остаток равен 24=92-68.

    В результате получаем:

    42252=40800+1360+68+24=68·600+68·20+68·1+24==68·(600+20+1)+24=68·621+24

    Неполное частное равно 621, остаток равен 24.

    Деление натуральных чисел с остатком. Проверка результата

    Деление натуральных чисел с остатком, особенно при больших числах, довольно трудоемкий и громоздкий процесс. Допустить ошибку в вычислениях может каждый. Именно поэтому, проверка результата деления поможет понять, все ли вы сделали правильно. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком выполняется в два этапа.

    На первом этапе проверяем, не получился ли остаток больше делителя. Если нет, то все хорошо. Иначе, можно сделать вывод, что что-то пошло не так.

    Важно!

    Остаток всегда меньше делителя!

    На втором этапе проверяется справедливость равенства a=b·c+d. Если равенство после подстановки значений оказывается верным, то и деление было выполнено без ошибок.

    Пример 6. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком. 

    Проверим, верно ли, что 506÷28=17 (остаток 30).

    Сравниваем остаток и делитель: 30>28.

    Значит, деление выполнено неверно.

    Пример 7. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком. 

    Школьник разделил 121 на 13 и получил в результате неполное частное 9 с остатком 5. Правильно ли он сделал?

    Чтобы узнать это, сначала сравниваем остаток и делитель: 5<13.

    Первый пункт проверки пройден, переходим ко второму.

    Запишем формулу a=b·c+da=121; b=13; c=9; d=5.

    Подставляем значения и сравниваем результаты

    13·9+5=117+5=122; 121122

    Значит, в вычисления школьника где-то закралась ошибка.

    Пример 8. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком. 

    Студент выполнял лабораторную работу по физике. В ходе выполнения ему понадобилось разделить 5998 на 111. В результате у него получилось число 54 с остатком 4. Все ли правильно посчитано?

    Проверим! Остаток 4 меньше, чем делитель 111, поэтому переходим ко второму этапу проверки.

    Используем формулу a=b·c+d, где a=5998; b=111; c=54; d=4.

    После подстановки, имеем:

    5998=111·54+4=5994+4=5998.

    Равенство корректно, а значит, и деление выполнено верно.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter