Деление натуральных чисел: правила, примеры, решения

Деление натуральных чисел: правила, примеры, решения

    В этой статье мы рассмотрим правила и алгоритмы деления натуральных чисел. Сразу отметим, что здесь мы смотрим только на деление нацело, то есть без остатка. О делении натуральных чисел с остатком читайте в нашем отдельном материале.

    Перед тем, как формулировать правило деления натуральных чисел, нужно понять связь деления с умножением. После того, как мы установим эту связь, последовательно рассмотрим самые простые случаи: деление натурального числа на себя и на единицу. Далее разберем деление с помощью таблицы умножения, деление методом последовательного вычитания, деление на числа, кратные числу 10, различные степени числа 10.

    Для каждого случая приведем и подробно рассмотрим примеры. В конце статьи покажем, как проводить проверку результата деления.

    Связь деления с умножением

    Чтобы проследить связь между делением и умножением, вспомним, что деление представляется, как разбиение исходного делимого множества на несколько одинаковых множеств. Умножение связано с объединением нескольких одинаковых множеств в одно. 

    Деление - действие, обратное умножению. Что это значит? Приведем аналогию. Представим, что у нас есть b множеств, в каждом из которых - по с предметов. Общее количество предметов во всех множествах равно a. Умножение - это объединение всех множеств в одно. Математически оно запишется так:

    b·c=a.

    Обратный процесс разбиения полученного общего множества на b множеств по с предметов в каждом соответствует делению:

    a÷b=c.

    На основе сказанного можно перейти к следующему утверждению:

    Если произведение натуральных чисел c и b равно a, то частное чисел a и b равно c. Перепишем в буквенном виде. 

    Если b·c=a, то a÷b=c

    Пользуясь переместительным свойством умножения, можно записать:

    c·b=a

    Отсюда также следует, что a÷с=b

    На основании сказанного можно сформулировать общий вывод. Если произведение чисел c и b равно a, то соответственно частные a÷b и a÷c равны c и b.

    Подытожим все изложенное выше и дадим определение деления натуральных чисел.

    Деление натуральных чисел

    Деление - нахождение неизвестного множителя по известному произведению и другому известному множителю.

    Это определение станет базой, на основе которой мы будем строить правила и методы деления натуральных чисел.

    Деление методом последовательного вычитания

    Только что мы говорили о делении в контексте умножения. На основе этого знания можно проводить операцию деления. Однако, существует еще один, достаточно простой и достойный внимания подход - деление методом последовательного вычитания. Этот способ понятен интуитивно, поэтому рассмотрим его на примере, не приводя теоретических выкладок.

    Заголовок

    Сколько будет 12 разделить на 4?

    Иными словами данную задачу можно сформулировать так: имеется 12 предметов (например, апельсинов), и их нужно разделить на равные группы по 4 предмета (разложить в коробки по 4 штуки). Сколько будет таких групп или коробок по четыре апельсина в каждой?

    Шаг за шагом будем отнимать от исходного количества по 4 апельсина и формировать группы по 4 до того момента, пока апельсины не закончатся. Количество шагов, которые нам придется сделать, и будет ответом на изначальный вопрос.

    Из 12 апельсинов откладываем первую четверку в коробку. После этого в исходной куче апельсинов остается 12-4=8цитрусовых. Из этих восьми в другую коробку забираем еще 4. Теперь в исходной куче апельсинов осталось 8-4=4штуки. Из этих четырех штук как раз можно сформировать еще одну, отдельную третью коробку, после чего в исходной куче останется 4-4=0 апельсинов.

    Итак, мы получили 3 коробки, по 4 предмета в каждой. Иными словами, мы разделили 12 на 4, и получили в результате 3

    Работая с числами, не нужно каждый раз проводить аналогию с предметами. Что мы делали с делимым и делителем? Последовательно вычитали делитель из делимого, пока не получили нуль в остатке.

    Важно!

    При делении методом последовательного вычитания количество операций вычитания до получения нулевого остатка и есть частное от деления.

    Для закрепления рассмотрим еще один, более сложный пример.

    Пример 1. Деление последовательным вычитанием

    Вычислим результат деления числа 108 на 27 методом последовательного вычитания.

    Первое действие: 108-27=81.

    Второе действие: 81-27=54.

    Третье действие: 54-27=27.

    Четвертое действие: 27-27=0.

    Более действий не требуется. Мы получили ответ:

    108÷27=4

    Отметим, что данный метод удобен только в случаях, когда необходимое количество последовательных вычитаний невелико. В остальных случаях целесообразно применять правила деления, которые мы рассмотрим ниже.

    Деление равных натуральных чисел

    Согласно свойствам натуральных чисел, сформулируем правило, как делить равные натуральные числа.

    Деление равных натуральных чисел

    Частное от деления натурального числа на равное ему натуральное число равно единице!

    aa=1.

    Например:

    1÷1=1141÷141=12589÷2589=1100000000÷100000000=1.

    Деление на единицу

    Основываясь на свойствах натуральных чисел, можно также сформулировать правило деление натурального числа на единицу.

    Деление натурального числа на единицу

    Частное от деления любого натурального числа на единицу равно самому делимому числу.

    a1=a.

    Например: 

    1÷1=1141÷1=1412589÷1=2589100000000÷1=100000000.

    Деление с помощью таблицы умножения

    Таблица умножения - удобный инструмент, который позволяет найти произведения однозначных натуральных чисел. Однако, ее можно использовать и для деления.

    Таблица умножения позволяет находить не только результат произведения множителей, но и множитель по известному произведению и другому множителю. Как мы выяснили ранее, деление - это как раз и есть нахождение неизвестного множителя по известному произведению и еще одному множителю. 

    С помощью таблицы умножения можно проводить деление любого числа на желтом фоне на любое однозначное натуральное число. Покажем, как это делать. Есть два способа, применение которых мы будем рассматривать на примерах.

    Разделим 48 на 6.

    Способ первый.

    В столбце, верхняя ячейка которого содержит делитель 6, находим делимое 48. Результат деления при этом находится в крайней левой ячейке строки, содержащей делимое. Он обведен синей окружностью.

    Способ второй. 

    Сначала в строке с делителем 6 находим делимое 48. Результат деления при этом находится в крайней верхней ячейке столбца, содержащем делимое. Он обведен синей окружностью.

    Итак, мы разделили 48 на 6 и получили 8. Результат был найден по таблице умножения двумя способами. Оба способа абсолютно идентичны.

    Для закрепления рассмотрим еще один пример. Разделим 7 на 1. Приведем рисунки, иллюстрирующие процесс деления.

    В результате деления числа 7  на  1, как вы уже догадались, получается число 7. В делении с помощью таблицы умножения очень важно знать эту таблицу наизусть, так как не всегда можно иметь ее под рукой.

    Настоятельно рекомендуем выучить таблицу умножения!

    Деление на 10, 100, 1000 и т.д.

    Сразу сформулируем правило деления на натуральных чисел на 10, 100, 1000 и т.д. Сразу будем считать, что деление без остатка возможно.

    Деление на 10, 100, 1000 и т.д.

    Результатом деления натурального числа на 10, 100, 1000 и т.д. является такое натуральное число, запись которого получается из записи делимого если справа от него отбросить 1, 2, 3 и т.д. нулей.

    Отбрасывается столько нулей, сколько из есть в записи делителя!

    Например, 30÷10=3. От числа 30 мы отбросили один нуль.

    Частное 120000÷1000 равно 120 - от числа 120000 отбрасываем справа три нуля, именно столько их содержится в делителе.

    Обоснование правила строится на правиле умножения натурального числа на 10, 100, 1000 и т.д. Приведем пример. Пусть нужно разделить 10200 на 100.

    10200=102·100

    10200÷100=102·100100=102.

    Представление делимого в виде произведения

    При делении натуральных чисел не стоит забывать о свойстве деления произведения двух чисел на натуральное число. Иногда делимое можно представить в виде произведения, один из множителей в котором делится на делитель. 

    Рассмотрим типичные случаи.

    Пример 2. Представление делимого в виде произведения

    Разделим 30 на 3.

    Делимое 30 можно представить в виде произведения30=3·10.

    Имеем: 30÷3=3·10÷3

    Воспользовавшись свойством деления произведения двух чисел, получаем:

    3·10÷3=3÷3·10=1·10=10

    30÷3=10

    Приведем еще несколько аналогичных примеров.

    Пример 3. Представление делимого в виде произведения

    Вычислим частное 7200÷72.

    Представляем делимое в виде 7200=72·100. При этом, результат деления будет следующим:

    7200÷72=72·100÷72=72÷72÷100=100

    Пример 4. Представление делимого в виде произведения

    Вычислим частное: 1600000÷160.

    1600000=160·10000

    1600000÷160=160·10000÷160=160÷160·10000=10000

    В более сложных примерах удобно пользоваться таблицей умножения. Проиллюстрируем это.

    Пример 5. Представление делимого в виде произведения

    Разделим 5400 на 9.

    Таблица умножения подсказывает нам, что 54 делится на 9, поэтому делимое целесообразно представить в виде произведения:

    5400=54·100.

    Теперь закончим деление:

    5400÷9=54·100÷9=54÷9·100=6·100=600

    Для закрепления данного материала рассмотрим еще один пример, уже без подробных словесных пояснений.

    Пример 6. Представление делимого в виде произведения

    Посчитаем, сколько будет 120 разделить на 4.

    120=12·10

    120÷4=12·10÷4=12÷4·10=3·10=30

    Деление натуральных чисел, оканчивающихся на нуль

    При делении чисел, записи которых оканчиваются цифрой 0, полезно помнить свойство деления натурального числа на произведение двух чисел. При этом, делитель представляется в виде произведения двух множителей, после чего указанное свойство находит применение в совокупности с таблицей умножения.

    Как всегда, поясним это на примерах.

    Пример 7. Деление натуральных чисел, оканчивающихся на 0

    Разделим 490 на 70.

    Запишем 70 в виде:

    70=7·10.

    Используя свойство деления натурального числа на произведение, можно записать:

    490÷70=490÷7·10=490÷10÷7.

    Деление на 10 мы уже разобрали в предыдущем пункте.

    490÷10÷7=49÷7=7

    490÷70=7.

    Для закрепления разберем еще один, более сложный пример.

    Пример 8. Деление натуральных чисел, оканчивающихся на 0

    Возьмем числа 54000 и 5400 и разделим их.

    54000÷5400=?

    Представим 5400 в виде 54·100 и запишем:

    54000÷5400=54000÷54·100=54000÷100÷54=540÷54.

    Теперь делимое 540 представляем в виде 54·10 и записываем:

    540÷54=54·10÷54=54÷54·10=10

    54000÷5400=10.

    Подведем итог по изложенному в данном пункте.

    Важно!

    Если в записях делимого и делителя справа присутствуют нули, то нужно избавиться от одинакового количества нулей как в делимом, так и в делителе. После этого выполнить деление получившихся чисел.

    Например, деление чисел 64000 и 8000 сведется к делению чисел 64 и 8.

    Метод подбора частного

    Прежде чем рассматривать этот способ деления, введем некоторые условия.

    Пусть числа a и b делятся друг на друга, причем произведение b·10 дает число, большее, чем a. В таком случае частное a÷b является однозначным натуральным числом. Иными словами, это число от 1 до 9. Это типичная ситуация, когда метод подбора частного удобен и применим. Последовательно умножая делитель на 1, 2, 3, .. , 9 и сравнивая результат с делимым, можно найти частное.

    Рассмотрим пример.

    Пример 9. Подбор частного

    Разделим 108 на 27.

    Легко заметить, что 27·10=270; 270>108

    Начнем подбор частного.

    27·1=2727·2=5427·3=8127·4=108

    Бинго! Частное найдено методом подбора:

    108÷27=4.

    Отметим, что в случаях, когда b·10>a частное также удобно находить методом последовательного вычитания.

    Представление делимого в виде суммы

    Еще один способ, который может помочь найти частное - это представить делимое в виде суммы нескольких натуральных чисел, каждое из которых легко делится на делитель. После этого нам пригодится свойство деления суммы натуральных чисел на число. Вместе с примером рассмотрим алгоритм и ответим на вопрос: в виде каких слагаемых представлять делимое?

    Пусть делимое равно 8551, а делитель равен 17.

    1. Вычислим, на сколько в записи делимого больше знаков, чем в записи делителя. В нашем случае делитель содержит два знака, а делимое - четыре. Значит в записи делимого на два знака больше. Запоминаем число 2.
    2. Справа в делителе дописываем два нуля. Почему два? В предыдущем пункте мы как раз и определили это число. Однако, если записанное в результате число окажется больше делителя, из числа, полученного в предыдущем пункте, нужно вычесть 1. В нашем примере, дописав нули к делителю, мы получили число 1700<8551. Таким образом, отнимать единицу из двойки, полученной в первом пункте, не нужно. В памяти так же оставляем число 2.
    3. К числу 1 справа приписываем нули в количестве, определенном числом из предыдущего пункта. Тем самым мы получаем рабочую единицу разряда, с которым будем оперировать далее. В нашем случае, к единице приписываются два нуля. Рабочий разряд - сотни. 
    4. Проводим последовательное умножения делителя на 1, 2, 3 и т.д. единицы рабочего разряда до того момента, пока не получим число, большее, чем делимое. 17·100=1700; 17·200=3400; 17·300=5100; 17·400=6400; 17·500=8500; 17·600=10200Нас интересует предпоследний результат, так как следующий после него результат произведения больше делимого. Число 8500, которое получено на предпоследнем шаге при умножении, и является первым слагаемым. Запоминаем равенство, которое мы будем использовать далее: 8500=17·500.
    5. Вычисляем разность между делимым и найденным слагаемым. Если она не равна нулю, возвращаемся к первому пункту и начинаем поиск второго слагаемого, используя вместо делимого уже полученную разность. Повторяем пункты до тех пор, пока в результате не получим нуль. В нашем примере разность равна 8551-8500=51510, поэтому, переходим к пункту 1.

    Повторяем алгоритм:

    1. Сравниваем количество знаков в новом делимом 51 и делителе 17. В обоих записях по две цифры, разность количества знаков равно нулю. Запоминаем число 0.
    2. Так как мы запомнили число 0, в записи делителя не нужно дописывать дополнительных нулей.
    3. К единице также не будем добавлять нулей. Опять же, потому что в первом пункте мы запоминали число 0. Таким образом, нашим рабочим разрядом являются единицы
    4. Последовательно умножаем 17 на 1, 2, 3,.. и т.д. Получаем: 17·1=17; 17·2=34; 17·3=51.
    5. Очевидно, на третьем шаге мы получили число, равное делителю. Это и есть второе слагаемое. Так как 51-51=0, на этом этапе останавливаем поиск слагаемых - он завершен.

    Теперь осталось найти частное. Делимое 8551 мы представили в виде суммы 8500+51. Запишем:

    8500+51÷17=8500÷17+51÷17.

    Результаты делений в скобках известны нам из проведенных ранее действий.

    8500+51÷17=8500÷17+51÷17=500+3=503.

    Результат деления: 8551÷17=503.

    Рассмотрим еще несколько примеров, уже не комментируя каждое действие столь детально.

    Пример 10. Деление натуральных чисел

    Найдем частное: 64÷2.

    1. В записи делимого на один знак больше, чем в записи делителя. Запоминаем цифру 1.

    2. Справа у делителя приписываем один нуль.

    3. К числу 1 приписываем один нуль и получаем единицу рабочего разряда - 10. Рабочий разряд, таким образом - десятки.

    4. Начинаем последовательное умножение делителя на единицы рабочего разряда. 2·10=20; 2·20=40; 2·30=60; 2·40=80; 80>64.

    Первое найденное слагаемое - число 60.

    Равенство 60÷2=30 ещё пригодится нам в будущем.

    5. Ищем второе слагаемое. Для этого вычисляем разность 64-60=4. Число 4 делится на 2 без остатка, очевидно, это и есть второе слагаемое.

    Теперь находим частное:

    64÷2=60+4÷2=60÷2+4÷2=30+2=32.

    Пример 11. Деление натуральных чисел

    Решим: 1178÷31=?

    1. Видим, что в записи делимого на два знака больше, чем в делителе. Запоминаем число 2.

    2. К делителю справа добавляем два нуля. Получаем число 3100

    3100>1178, поэтому запомненное число 2 из первого пункта нужно уменьшить на единицу. 

    2-1=1.

    3. К единице справа добавляем один нуль и получаем рабочий разряд - десятки.

    4. Умножаем 31 на 10, 20, 30, .. и т.д.

    31·10=310; 31·20=620; 31·30=930; 31·40=1240

    1240>1178, следовательно, первым слагаемым является число 930.

    5. Вычисляем разность 1178-930=248. С числом 248 на месте делимого начинаем искать второе слагаемое.

    1. В записи числа 248 на один знак больше, чем в числе 31. Запоминаем цифру 1

    2. К 31 прибавляем справа один нуль. Так как 310>248, уменьшаем полученную в предыдущем пункте единицу, и в итоге имеем число 0

    3. Так как мы запомнили число 0, то к единице не нужно приписывать дополнительных нулей, и разряд единиц - рабочий разряд.

    4. Последовательно умножаем 31 на 1, 2, 3, .. и т.д., сравнивая результат c делимым.

    31·1=31; 31·2=62; 31·3=93; 31·4=124; 31·5=155; 31·6=186; 31·7=217; 31·8=248

    Таким образом, именно число 248 и является вторым слагаемым, которое делится на 31.

    5. Разность 248-248 равна нулю. Заканчиваем поиск слагаемых, запоминаем соотношение 248÷31=8 и находим частное.

    1178÷31=930+248÷31=930÷31+248÷31=30+8=38.

    Постепенно увеличиваем сложность примеров.

    Пример 12. Деление натуральных чисел

    Разделим 13984 на 32.

    В данном случае описанный выше алгоритм нужно будет применить три раза. Не будем приводить все выкладки, просто укажем, в виде каких слагаемых будет представлен делитель. Вы можете проверить себя, и провести вычисления самостоятельно.

    Первое слагаемое равно 12800

    12800÷32=400.

    Второе слагаемое равно 960.

    960÷32=30.

    Третье слагаемое равно 224

    224÷32=7.

    Результат:

    13984÷32=12800+960+224÷32=12800÷32+960÷32+224÷32=400+30+7=437.

    Казалось бы, мы рассмотрели практически все возможные способы деления натуральных чисел. На этом, тему можно считать закрытой. Однако, есть способ, который в ряде случаев позволяет провести деление быстрее и рациональнее.

    Рассмотрим его напоследок.

    Представление делимого в виде разности натуральных чисел

    Иногда делимое проще и удобнее представлять в виде разности, а не суммы. Это может значительно ускорить и облегчить процесс деления. Как именно? Покажем на примере.

    Пример 13. Деление натуральных чисел

    Разделим 594 на 6.

    Если воспользоваться алгоритмом из предыдущего пункта, мы получим в результате:

    594÷6=540+54÷6=540÷6+54÷6=90+9=99.

    Однако, если число 594 представить в виде разности 600-6, все становится гораздо очевиднее. Оба числа 600 и 6) делятся на 6. По свойству деления разности натуральных чисел, мы получаем:

    594÷6=600-6÷6=600÷6-6÷6=100-1=99

    Результат тот же, но действия объективно легче и проще.

    Решим еще один пример тем же методом. Отметим, что важно уметь правильно заметить, какую манипуляцию сделать с числами, чтобы провести деление легко. Скажем даже, что в этом присутствует некоторый элемент искусства.

    Пример 14. Деление натуральных чисел

    483÷7=?

    Вспоминаем таблицу умножение и понимаем: число 483 удобно представить в виде 483=490-7.

    490÷7=707÷7=1

    Проводим деление:

    483÷7=(490-7)÷7=490÷7-7÷7=70-1=69.

    Проверка результата деления

    Проверка никогда не бывает лишней, особенно, если мы делили большие числа. Как проверять, правильно ли выполнено деление натуральных чисел? При помощи умножения!

    Проверка результата деления

    Чтобы проверить правильно ли выполнено деление, нужно частное умножить на делитель. В результате должно получится делимое.

    Если выходит иначе, можно сделать вывод о том, что где-то закралась ошибка.

    Смысл этого действия очень прост. Например, у нас было a предметов, и эти a предметов мы разложили на b кучек. В каждой кучке оказалось по с предметов. Математически это выглядит так:

    a÷b=c.

    Теперь объединим обратно все b кучек по с предметов. В результате должно получится та же совокупность предметов a.

    b·c=a.

    Рассмотрим проведение проверки на двух примерах.

    Пример 15. Проверка результата деления натуральных чисел

    Число 475 разделили на 19. В результате получилось 25. Правильно ли выполнено деление?

    Умножим частное 25 на делитель 19 и выясним, верно ли разделили числа.

    25·19=475.

    Число 475 равно делимому, значит, деление выполнено верно.

    Пример 16. Проверка результата деления натуральных чисел

    Разделите и проверьте результат:

    1024÷32=?

    Будем представлять делимое в виде суммы слагаемых и осуществлять деление.

    1024÷32=960+64÷32=960÷32+64÷32=30+2=32.

    Проверим результат:

    32·32=1024.

    Вывод: деление выполнено верно.

    Проверка результата деления чисел делением

    Рассмотренный выше способ проверки основан на умножении. Существует также проверка делением. Как ее проводить?

    Проверка результата деления

    Чтобы проверить верно ли найдено частное, нужно делимое разделить на полученное частное. В результате должен получится делитель.

    Если выходит иначе, можно сделать вывод о том, что где-то закралась ошибка.

    Правило основано на той же связи между делимым, делителем и частным, что и правило из предыдущего пункта.

    Рассмотрим примеры.

    Пример 17. Проверка результата деления натуральных чисел

    Верно ли равенство:

    104÷13=8.

    Разделим делимое на частное:

    104÷8=80+24÷8=80÷8+24÷8=10+3=13.

    В результате получился делитель, значит, деление выполнено верно.

    Пример 18. Проверка результата деления натуральных чисел

    Вычислим и проверим: 240÷15=?

    Представляя делимое в виде суммы, получаем:

    240÷15=150+90÷15=150÷15+90÷15=10+6=16.

    Проверяем результат:

    240÷16=?

    240÷16=160+80÷16=160÷16+80÷16=10+5=15.

    Деление выполнено верно.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    5,0 из 5 (19 голосов)