Угловое ускорение
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Угловое ускорение

    Система понятий кинематики включает в себя также такую величину как угловое ускорение тела. Дадим ей определение, рассмотрим основные аспекты с использованием примеров.

    Основные понятия

    Определение 1

    Угловое ускорение – величина, характеризующая изменение скорости с течением времени.

    Пусть рассматриваемый промежуток времени это: Δt=t1-t, а изменение угловой скорости составит Δω=ω1-ω, тогда числовое значение среднего углового ускорения за тот же интервал времени: ε=ωt=ε. Перейдем к пределу, когда Δt>0, тогда формула углового ускорения будет иметь вид: ε=limt0ωt=dωdt=d2φdt=ω˙=φ¨.

    Определение 2

    Числовое значение ускорения в заданный момент времени есть первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени.

    Размерность углового ускорения 1T2 (т.е. 1время2). Укажем также, в чем измеряется угловое ускорение: за единицу измерения стандартно принимается рад/с2 или иначе: 1с2(с-2).

    Определение 3

    Ускоренное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) возрастает с течением времени.

    Определение 4

    Замедленное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) убывает с течением времени.

    В общем, довольно просто заметить, что, если ω и ε имеют одинаковые знаки, наблюдается ускоренное вращение, а, когда противоположные знаки – замедленное.

    Рисунок 1. Вектор углового ускорения

    Если мы представим угловое ускорение как вектор ε=dωdt, имеющий направление вдоль оси вращения, то в случае ускоренного вращения ε и ω совпадут по направлениям (левая часть
    рисунка 1) и будут противоположны по направлениям в случае замедленного вращения (правая часть
    рисунка 1).

    Закон равнопеременного вращения

    Определение 5

    Равнопеременное вращение – вращение, при котором угловое ускорение во все время движения является постоянным (ε=const).

    Выведем формульно закон равнопеременного вращения. Пусть в начальный момент времени t0 угол вращения равен ϕ=ϕ0; угловая скорость - ω=ω0 (т.е. ω0 является начальной угловой скоростью).

    Выражение ε=dωdt=ω˙=φ¨ дает нам возможность сделать запись: dω=εdt. Проинтегрируем левую часть крайней записи в пределах от ω0 до ω, а правую – в пределах от 0 до t, тогда:

    ω=ω0+εt, dφ=ω0dt+εtdt.

    Проинтегрируем вторично и получим формулу, выражающую закон равнопеременного вращения:

    Определение 6

    Закон равнопеременного вращения: φ=φ0+ωt+εt22.

    Вращение является равноускоренным, когда ω и ε имеют одинаковые знаки.

    Вращение является равнозамедленным, когда ω и ε противоположны по знаку.

    Угловое ускорение имеет связь с полным и тангенциальным ускорениями. Пусть некоторая точка вращается неравномерно по окружности с радиусом R, тогда: αr=εR. Нормальное ускорение имеет также связь с угловым: an=ω2R. Учтем это выражение и для полного ускорения получим: a=ar2+an2=Rε2+ω4 Для равнопеременного движения: ω=εt; an=ω2R=ε2t2R и a=Rε2+ε4t4=Rε1+ε2t4.

    Практические примеры

    Пример 1

    На рисунке 2 заданы различные типы вращения гироскопа (волчка). С учетом соответствующих подписей необходимо указать, какой рисунок верно демонстрирует направление углового ускорения.

    Рисунок 2

    Решение

    Правило буравчика (правого винта) связывает направление вращения и псевдовектор угловой скорости. Рисунки 2.1. и 2.3. показывают направление псевдовектора вверх, а рисунки 2.2. и 2.4. – вниз.

    Когда угловая скорость возрастает, ее приращение и вектор ускорения совпадут с вектором угловой скорости (рисунки 2.1. и 2.4.). Когда угловая скорость будет уменьшаться, ее приращение и вектор ускорения окажутся противоположно направлены вектору угловой скорости (рисунки 2.2. и 2.3.). Таким образом, все рисунки демонстрируют верное направление углового ускорения.

    Пример 2

    Пусть задана некоторая материальная точка, совершающая движение по окружности с радиусом R. При этом выражение ϕ=αt3 отражает зависимость угла поворота от времени. Необходимо найти полное ускорение заданной точки как функцию времени.

    Решение

    Запишем выражения для угловой скорости и углового ускорения заданной точки:

    ω=dφdt=3αt2; ε=6αt.

    Полное ускорение запишем как:

    a=ar2+an2=Rε2+ω4=R36a2t2+81a4t8=3atR4+9a2t6.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,3 из 5 (16 голосов)