Теорема Гаусса

Теорема Гаусса

    Для полноценного описания электростатического поля заданной системы зарядов в вакууме достаточно экспериментально подтвержденного закона Кулона и принципа суперпозиции. Но при этом существует возможность свойства электростатического поля охарактеризовать в ином обобщенном виде, не опираясь на утверждения касательно кулоновского поля точечного заряда.

    Поток вектора напряженности

    Зададим новую физическую величину, описывающую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Предположим, что в пространстве, содержащем заданное электрическое поле, имеется некая достаточно малая площадка ΔS.

    Определение 1

    Элементарный поток вектора напряженности (через площадку S) – это физическая величина, равная произведению модуля вектора E, площади ΔS и косинуса угла α между вектором и нормалью к площадке:

    ΔΦ=EΔScos α=EnΔS.

    В данной формуле En является модулем нормальной составляющей поля E.

    Рисунок 1.3.1. Иллюстрация элементарного потока ΔΦ.

    Пример 1

    Теперь возьмем для рассмотрения некую произвольную замкнутую поверхность S. Разобьем заданную поверхность на площадки небольшого размера ΔSi, рассчитаем элементарные потоки ΔΦi поля через эти малые площадки, после чего найдем их сумму, что в итоге даст нам поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис. 1.3.2):

    Φ=Φi=EmSi

    Когда речь идет о поверхности замкнутого типа, всегда используется внешняя нормаль.

    Рисунок 1.3.2. Расчет потока Ф через произвольную замкнутую поверхность S.

    Теорема Гаусса. Доказательство

    Теорема или закон Гаусса для электростатического поля в вакууме является одним из основных электродинамических законов.

    Теорема 1

    Поток вектора напряженности электростатического поля E через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε0.

    Уравнение Гаусса имеет вид:

    Φ=1ε0qвнутр

    Доказательство 1

    Докажем указанную теорию: для этого исследуем сферическую поверхность (или поверхность шара) S. В центре заданной поверхности расположен точечный заряд q. Любая точка сферы обладает электрическим полем, перпендикулярным поверхности сферы и равным по модулю: 

    E=En=14πε0·qR2,

    где R является радиусом сферы.

    Поток Φ через поверхность шара запишется, как произведение E и площади сферы 4πR2. Тогда: Φ=1ε0q.

    Следующим нашим шагом будет окружение точечного заряда произвольной поверхностью S замкнутого типа; зададим также вспомогательную сферу R0 (рис. 1.3.3).

    Рисунок 1.3.3. Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S, окружающую заряд.

    Возьмем для рассмотрения конус с малым телесным углом ΔΩ при вершине. Рассматриваемый конус задаст на сфере малую площадку ΔS0, а на поверхности S – площадку ΔS. Элементарные потоки ΔΦ0 и ΔΦ через эти площадки являются одинаковыми. В самом деле:

    ΔΦ0 = E0ΔS0, ΔΦ = EΔS cos α = EΔS',

    где выражением ΔS'=ΔS cos α определяется площадка, которая задастся конусом с телесным углом ΔΩ на поверхности сферы радиуса n.

    Поскольку  S0S'=R02r2, то Φ0=Φ. Из полученного следует вывод о том, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку Φ0 через поверхность вспомогательной сферы:

    Φ=Φ0=qε0.

    Так же мы можем продемонстрировать, что, когда замкнутая поверхность S не охватывает точечный заряд q, поток Φ равен нулю. Этот случай проиллюстрирован на рис. 1.3.2. Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, т.е. в этой области не наблюдается обрыва или зарождения силовых линий.

    Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов является следствием из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов возможно записать в виде векторной суммы электрических полей точечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S сложится из потоков Φi электрических полей отдельных зарядов. Когда заряд qi расположен внутри поверхности S, он дает вклад в поток, равный qiε0. В случае расположения заряда снаружи поверхности его вклад в поток есть нуль.

    Так, мы доказали теорему Гаусса.

    Замечание 1

    Теорема Гаусса, по сути, есть следствие закона Кулона и принципа суперпозиции. Однако, взяв за изначальную аксиому утверждения теоремы, следствием станет закон Кулона, в связи с чем теорему Гаусса порой называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

    Опираясь на теорему Гаусса, в определенных случаях легко определить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела (при наличии заранее угаданных симметрии заданного распределения зарядов и общей структуры поля).

    Применение теоремы Гаусса

    Пример 2

    В качестве примера можно рассмотреть задачу, в которой необходимо вычислить поле тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра с радиусом R. Такая задача имеет осевую симметрию, и из соображений симметрии электрическое поле должно иметь направление по радиусу. Таким образом, чтобы иметь возможность применить теорему Гаусса, оптимально выбрать поверхность замкнутого типа S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l, закрытого с обоих торцов (рис. 1.3.4).

    Рисунок 1.3.4. Иллюстрация поля однородно заряженного цилиндра. OO' – ось симметрии.

    Если rR, то весь поток вектора напряженности пройдет через боковую поверхность цилиндра, поскольку поток через оба основания есть нуль. Формула площади боковой поверхности цилиндра запишется как: 2πrl. Применим закон Гаусса и получим: 

    Φ=E2πrl=τlε0.

    В указанном выражении τ является зарядом длины цилиндра. Далее можно записать:

    E=τ2πε0r.

    Данное выражение не имеет зависимости от радиуса R заряженного цилиндра, а значит оно применимо и к полю длинной однородно заряженной нити.

    Чтобы найти напряженность поля внутри заряженного цилиндра, необходимо создать замкнутую поверхность для случая r<R. В соответствии с симметрией задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра должен быть, и в этом случае он равен Φ=E2πrl. Исходя из гауссовской теоремы, этот поток находится в пропорции к заряду, расположенному внутри замкнутой поверхности. Заряд этот равен нулю, откуда вытекает, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра тоже есть нуль.

    Точно так же теорема и формула Гаусса применимы для определения электрического поля в иных случаях, когда распределение зарядов охарактеризовано какой-либо симметрией, к примеру, симметрией относительно центра, плоскости или оси. Во всех этих случаях необходимо выбирать замкнутую гауссову поверхность подходящей формы.

    Пример 3

    К примеру, в случае центральной симметрии поверхность оптимально выбрать в виде сферы, у которой центр расположен в точке симметрии. Когда мы имеем симметрию относительно оси, подходящим видом замкнутой поверхности будет соосный цилиндр, закрытый с обоих торцов (аналогично рассмотренному выше примеру).

    При отсутствии симметрии и невозможности угадать общую структуру поля, теорема Гаусса не сможет быть применена для упрощения решения задачи по определению напряженности поля.

    Пример 4

    Разберем еще пример распределения зарядов при наличии симметрии: нахождение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1.3.5).

    Рисунок 1.3.5. Поле равномерно заряженной плоскости. σ – поверхностная плотность заряда. S – замкнутая гауссова поверхность.

    Здесь гауссову поверхность S оптимально задать как цилиндр некой длины, замкнутый с обоих концов. Ось цилиндра является перпендикуляром к заряженной плоскости; в свою очередь, торцы цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от нее. В соответствии с симметрией поле равномерно заряженной плоскости должно везде иметь направление по нормали. Применим теорему Гаусса и получим:

    2ES=σSε0 или E=σ2ε0.

    Здесь σ является поверхностной плотностью заряда или зарядом, приходящимся на единицу площади.

    Выражение, которое мы получили для электрического поля однородно заряженной плоскости, возможно использовать и для плоских заряженных площадок конечного размера: здесь расстояние от точки, в которой мы определяем напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значимо меньше размеров площадки.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,1 из 5 (13 голосов)