Вектор напряженности электрического поля

Вектор напряженности электрического поля

    По теории близкодействия взаимодействия между заряженными телами, удаленными друг от друга, происходит с помощью электромагнитных полей, создаваемых этими телами в окружающем их пространстве. Если поле было создано неподвижными частицами, то его относят к электростатическому. Когда происходят изменения во времени, получает название стационарного. Электростатическое поле является стационарным. Оно считается частным случаем электромагнитного поля.

    Характеристика электрического поля

    Силовая характеристика электрического поля – вектор напряженности, который можно найти по формуле:

    E=Fq, где F - сила, действующая со стороны поля на неподвижный (пробный) заряд q. Его значение должно быть настолько мало, чтобы отсутствовала возможность искажать поле, напряженность которого с его помощью и измеряют. По уравнению видно, что напряженность совпадает по направлению с силой, с которой поле действует на единичный положительный пробный заряд.

    У напряженности электростатического поля нет зависимости от времени. Когда она во всех точках поля одинакова, тогда поле называют однородным. В другом случае – неоднородным.

    Силовые линии

    Чтобы изобразить электростатические поля графически, необходимо задействовать понятие силовых линий.

    Определение 1

    Силовые линии – это линии, касательные к которым в каждой точке поля совпадают с направлениями векторов напряженности в этих точках.

    Такие линии в электростатическом поле разомкнутые. Они начинаются на положительных зарядах и заканчивают на отрицательных. Реже уходят в бесконечность или возвращаются из нее. Силовые линии поля не могу пересекаться.

    Вектор напряженности электрического поля подчиняется принципу суперпозиции, а именно:

    E=i=1nEi.

    Результирующий вектор напряженности сводится к нахождению векторной суммы напряженностей, составляющих его «отдельные» поля. При распределении непрерывного заряда, поиск суммарной напряженности поля производится по формуле:

    E=dE.

    Интегрирование E=dE проводится по области распределения зарядов. Если их распределение идет по линии (τ=dqdl - линейная плотность распределения заряда), то интегрирование E=dE тоже. Когда распределение зарядов идет по поверхности и поверхностная плоскость обозначается как σ=dqdS, тогда интегрируют по поверхности.

    Интегрирование по объему выполняется, если имеется объемное распределение заряда:

    ρ=dqdV, где ρ - объемная плотность распределения заряда.

    Что называется напряженностью электрического поля

    Определение 2

    Напряженность поля в диэлектрике равняется векторной сумме напряженностей полей, которые создают свободные E0 и связанные Ep заряды:

    E=E0+Ep.

    Зачастую бывают случаи, когда диэлектрик изотропный. Тогда запись напряженности поля имеет вид:

    E=E0ε, где ε обозначает относительную диэлектрическую проницаемость среды в рассматриваемой точке поля.

    Отсюда следует, что по выражению E=E0ε имеется однородный изотропный диэлектрик с напряженностью электрического поля в ε меньше, чем в вакууме.

    Напряженность электростатического поля системы точечных зарядов равняется:

    E=14πε0i=1nqiεri3ri.

    В системе СГС напряженность поля точечного заряда в вакууме:

    E=qrr3.

    Пример 1

    Дан равномерно распределенный заряд по четверти окружности радиуса R с линейной плотностью τ. Необходимо найти напряженность поля в точке А, являющейся центром окружности.

    Решение

    Рисунок 1

    Произведем выделение на заряженной части окружности элементарного участка dl, который будет создавать элемент поля в точке А. Следует записать выражение для напряженности, то есть для dE. Тогда формула примет вид:

    dE=dqR3RR.

    Проекция вектора dE на ось Ох составит:

    dEx=dEcosφ=dqcosφR2.

    Произведем выражение dq через линейную плотность заряда τ:

    dq=τdl=τ·2πRdR.

    Необходимо использовать dq=τdl=τ·2πRdR для преобразования dEx=dEcosφ=dqcosφR2:

    dEx=2πRτdRcos φR2=2πτdRcos φR=τcos φdφR,

    где 2πdR=dφ.

    Далее перейдем к нахождению полной проекции Ex при помощи интегрирования dEx=2πRτdRcos φR2=2πτdRcos φR=τcos φdφR,

    по dφ с изменением угла 0φ2π.

    Ex=02πτcos φdφR=τR02πcosφ dφ=τRsin φ02π=τR.

    Перейдем к проекции вектора напряженности на Оу:

    dEy=dEsin φ=τRsin φdφ.

    Следует проинтегрировать с изменяющимся углом π2φ0:

    Eyπ20τRsin φdφ=τRπ20sin φdφ=-τRcos φπ20=-τR.

    Произведем нахождение модуля вектора напряженности в точке А, применив теорему Пифагора:

    E=Ex2+Ey2=τR2+-τR2=τR2.

    Ответ: E=τR2.

    Пример 2

    Найти напряженность электростатического поля равномерно заряженной полусферы с радиусом R. Поверхностная плотность заряда равняется σ.

    Решение

    Рисунок 2

    Следует выделить на поверхности заряженной сферы элементарный заряд dq, располагаемый на элементе площади dS. Запись, используя сферические координаты dS, равняется:

    dS=R2sinθdθdφ,

    при 0φ2π, 0θπ2.

    Элементарная напряженность поля точечного заряда в системе СИ:

    dE=dq4πε0R3RR.

    Необходимо спроецировать вектор напряженности на Ох:

    dEx=dqcosθ4πε0R2.

    Произведем выражение заряда через поверхностную плотность заряда:

    dq=σdS.

    Подставим dq=σdS в dEx=dqcosθ4πε0R2, используя dS=R2sinθdθdφ, проинтегрируем и запишем:

    Ex=σR24πε0R202πdφ0π2cosθsinθdθ=σ4πε02π·12=σ4ε0.

    Тогда EY=0.

    Отсюда следует, что E=Ex.

    Ответ: напряженность полусферы в центре равняется E=σ4ε0.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,1 из 5 (20 голосов)