Свободные и связанные заряды

Свободные и связанные заряды

    Когда рассматриваются диэлектрики в электростатических полях, следует различать два вида электрических зарядов: свободные и связанные.

    Определение 1

    Свободные заряды – это заряды, перемещающиеся под действием поля на существенные расстояния.

    Например, электроны в проводниках, ионы в газах и заряды, привносимые извне на поверхность диэлектриков, которые нарушают их (диэлектриков) нейтральность. Заряды, входящие в состав нейтральных, в целом, молекул диэлектриков, так же, как ионы, закрепленные в кристаллических решетках твердых диэлектриков около положений равновесия, получили название связанных зарядов.

    Поверхностная плотность зарядов

    Определение 2

    Формула потенциала электростатического поля в диэлектрике φ запишется как:

    φ=φ0+φ' (1) с φ0, являющимся потенциалом поля, создаваемого свободными зарядами, с
    φ' - потенциалом поля, создаваемого связанными зарядами.

    Известно:

    φ0=ρdVR+σdSR (2), ρ - это объемная плотность свободных зарядов, σ - их поверхностная плотность. Определение потенциала поля связанных зарядов:

    φ'=PRR3dV (3), где P служит вектором поляризации.

    Можно сделать вывод, что из (1) и (3) получим:

    φ=φ0+PRR3 (4).

    При использовании теоремы Остроградского-Гаусса с некоторыми формулами векторного анализа имеем совсем иной вид уравнения (4):

    φ=φ0+ρsυRdV+σsυRdV=ρsυ+ρRdV+σsυ+σRdV (5),

    где ρsυ обозначается в качестве средней объемной плотности связанных зарядов, а σsυ - средняя поверхностная плоскость связанных зарядов. По уравнению (5) видно, что при наличии диэлектрика электрическое поле совпадает с полем, созданным свободными зарядами плюс поле, которое создается связанными зарядами.

    Плотность связанных зарядов

    Если P=const, то средняя плотность связанных зарядов равняется нулю. Это говорит о том, что накопление зарядов одного знака в диэлектрике не происходит. На границе между поляризованным диэлектриком и вакуумом или металлом сосредоточен поверхностный связанный заряд плотности:

    σsυ=±Pn, -div P=ρsυ (6) с Pn, являющейся нормальной компонентой вектора поляризованности диэлектрика на его границе с вакуумом.

    Функция φ вида (7) будет решением уравнения:

    2φ=-4π (ρ+ρsυ) (7).

    При E=-φdiv E=-2φ (8) и (6) получим:

    div E=4πρ-4πdiv P (9).

    Определение 3

    div E+4πP=4πρ (10).

    Выражение (10) называют основным дифференциальным уравнением электростатического поля в любой произвольной среде.

    Для получения полной системы уравнений электростатики, нужно использовать формулу (10) с определением, связывающим векторы напряженности электрического поля с векторами поляризации.

    Зависимость P E представится как:

    Pi=ε0jχijEj+ε0j,kχijkEjEk+... (11), где i, j служат для нумерации компонентов по осям декартовой системы координат (i=x, y, z; j=x, y, z), χij - это тензор диэлектрической восприимчивости.

    Если имеется внешнее электрическое поле, вещество становится источником поля, значит, поле изменяется.

    Пример 1

    Дан плоский конденсатор с пространством, между обкладками которого заполнено однородным изотропным диэлектриком с диэлектрической восприимчивостью χ. На них располагается поверхностный заряд с плотностью σ. Определить напряженность результирующего поля в конденсаторе.

    Решение

    Если при имеющихся обкладках конденсатора находится вакуум, то напряженность поля, создаваемого заряженными обкладками, запишется как:

    Evak=σε0 с ε0=8,85·10-12 Фм, являющейся электрической постоянной.

    Рисунок 1

    +q, -q - это заряды, находящиеся на обкладках конденсатора.

    Evak - напряженность поля, создаваемого обкладками конденсатора.

    -q',+q' - заряды диэлектрика.

    E' - напряженность поля, создаваемого в результате поляризации диэлектрика.

    Очевидно, что диэлектрик поляризуется, тогда напряженность уменьшается. Диэлектрик однородный, а поле, создаваемое в плоском конденсаторе, также считается однородным. Отсюда вывод – поляризованность диэлектрика однородна, иначе говоря, отсутствуют объемные связанные заряды ρsυ=0. Имеются только поверхностные с плотностью σsυ:

    σsυ=Pn.

    Так как известна связь напряженности поля и вектора поляризации для изотропного диэлектрика, то

    P=χε0E.

    Отсюда получаем:

    σsυ=χε0E с Е, являющейся проекцией напряженности на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика.

    Направление напряженности идет от стороны положительно заряженной пластины к отрицательной. Из σsυ=χε0E получаем, что поверхностная плотность связанного заряда на границе с положительно заряженной пластиной отрицательная, а на границе с отрицательной пластиной – положительная. Следовательно, напряженность поля в диэлектрике между этими пластинами равняется напряженности поля в вакууме между ними, но со значением поверхностной плотности заряда, вычисляемой по формуле σ'=σ-σsυ.

    На основании выше сказанного зафиксируем, что напряженность поля в конденсаторе с диэлектриком запишется как:

    E=σ-σsυε0=σ-χε0Eε0.

    Произведем выражение из E=σ-σsυε0=σ-χε0Eε0 искомой напряженности:

    E=σε0(1+χ).

    Ответ: E=σε0(1+χ).

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,0 из 5 (7 голосов)