Теорема Гаусса в присутствии диэлектриков

Теорема Гаусса в присутствии диэлектриков

    Влияние диэлектриков на электрическое поле сводится к ответному действию возникающих в поле поляризационных зарядов. Теорема Остроградского-Гауса для тел в вакууме электростатического поля может быть трансформирована с помощью добавления к свободным зарядам поляризационных для получения теоремы с диэлектриками. В этом случае она запишется как:

    Со значением qjsυ в качестве связанных зарядов, qi - свободных зарядов, ΦE - потока вектора напряженности электрического поля.

    Теорема Остроградского-Гаусса

    Теорема 1

    Если использовать вектор электрического смещения D, то это заметно облегчает анализ поля при наличии диэлектрика. Теорему Остроградского-Гаусса при наличии диэлектрика можно записать в интегральном виде:

    SD·dS=i=1Nqi=Q, где Q является суммарным свободным зарядом, находящийся внутри объема, который ограничен поверхностью S.

    Поток вектора D через замкнутую поверхность может быть определен только с помощью свободных зарядов. В вакууме векторы D и E совпадающие.

    Определение 1

    Дифференциальная форма теоремы Гаусса выражения SD·dS=i=1Nqi=Q изображается как:

    div D=ρ с ρ, являющейся объемной плотностью свободных зарядов.

    Теорема Остроградского-Гаусса вида SD·dS=i=1Nqi=Q и div D=ρ справедлива только в электростатике и выполняется для переменных полей. Ее относят к составной части системы уравнений Максвелла.

    Теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме

    Напомним формулу вектора электрической индукции:

    D=ε0E+P со значением ε0 в качестве электрической постоянной, E - вектора напряженности, P - вектора поляризации.

    Произведем подстановку формулы D=ε0E+P в div D=ρ:

    div D=div ε0E+P=ε0div E+div P.

    При использовании теоремы Остроградского-Гаусса дифференциального вида, получим:

    div E=1ε0ρ-div P.

    Для вектора напряженности вышеуказанная формула примет вид в присутствии диэлектрика:

    div E=1ε0ρ+ρsv с ρsv, являющейся плотностью заряда. В этом случае необходимо применить div E=1ε0ρ+ρsv и div E=1ε0ρ-div P:

    div P=-1ε0csv.

    Теорема Остроградского-Гаусса для диэлектриков

    Теорема Остроградского-Гаусса для вектора электрического смещения в диэлектрике выглядит также, как и для напряженности поля в вакууме. Отсюда следует, что математические соотношения, получившиеся для E поля в вакууме, аналогичны записям для однородного диэлектрика при замене напряженности электрического поля на вектор D.

    Пример 1

    Дан диэлектрический шар, имеющий диэлектрическую проницаемость ε1, равномерно заряжен по объему с постоянной плотностью заряда ρ. Его нахождение в среде обусловлено наличием диэлектрической проницаемости ε2. Изобразить график напряженности поля шара от расстояния до его центра.

    Решение

    Поле, создаваемое шаром по заданным условиям, имеет сферическую симметрию. Необходимо рассмотреть его внутри шара rR. Для нахождения E(r) выбирается сферическая поверхность с радиусом меньше сферы. По теореме Остроградского-Гаусса:

    E·S=qε1ε0, где S - площадь поверхности сферы, которая была выделена. Отсюда следует:

    S=4πr2.

    Заряд, находящийся внутри сферы, ищем из формулы:

    q=ρV=ρ43πr3.

    Очевидно, что будут происходить изменения напряженности поля внутри шара rR, согласно выражениям:

    E·4πr2=ρ43πr3ε1ε0,

    E=ρr3ε1ε0.

    Перейдем к рассмотрению поля вне шара rR. Для нахождения E(r) выбираем сферическую поверхность с радиусом больше радиуса сферы. По теореме Остроградского-Гаусса получим:

    E·S=qε2ε0, где S обозначает площадь поверхности выделенной сферы. Отсюда следует:

    S=4πr2.

    Формула S=4πr2 имеет rR. Поэтому находящийся внутри заряд выделенной сферы находится из:

    q=ρV=ρ43πR3.

    Далее следует подставить площадь из S=4πr2, заряд из q=ρV=ρ43πR3, подставив в E·S=qε2ε0:

    E·4πr2=ρ43πR3ε2ε0.

    E=ρR33ε2ε0r2.

    В результате запишем:

    E=ρr3ε1ε0 при rR,E=ρR33ε2ε0r2 при rR.

    Рисунок 1

    Ответ: графики показаны на рисунке 1. Внутри шара напряженность увеличивается прямо пропорционально расстоянию от центра шара. Вне шара она равняется E~1r2. На границе диэлектриков происходит разрыв. Кривая под номером 1 соответствует условию ε1>ε2.

    Пример 2

    Предположим, что имеется воображаемая сфера, в центре которой находится точечный заряд. Будет ли изменяться поток вектора напряженности через эту поверхность, если: 1) все пространство будет заполнено однородным и изотопным диэлектриком, 2) произвести замену сферической поверхности на кубическую?

    Решение

    1. По теореме Остроградского-Гаусса поток вектора напряженности через поверхность сферы в пространстве с диэлектриком будет равняться:

    ΦE=SEdS=1ε0q+j=1Kqjsv, со значением qjsv в качестве связанных зарядов, которые вызваны поляризацией диэлектрика полем одиночного заряда, q в качестве свободного заряда, находящегося в центре сферы.

    Учитывая теорему Остроградского-Гаусса, формула потока вектора напряженности через поверхность сферы в пространстве без диэлектрика примет вид:

    ΦE=SEdS=1ε0q.

    1. Поле было создано при помощи точечного свободного заряда, то при замене формы поверхности потока вектор напряженности не будет изменяться, потому как равняется аналогичным значению заряда, находящегося на поверхности.

    Ответ:

    1. изменится,
    2. не изменится.
    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,7 из 5 (8 голосов)