Теорема Гаусса в присутствии диэлектриков

Дан диэлектрический шар, имеющий диэлектрическую проницаемость ${\epsilon }_1$, равномерно заряжен по объему с постоянной плотностью заряда $\rho$. Его нахождение в среде обусловлено наличием диэлектрической проницаемости ${\epsilon }_2$. Изобразить график напряженности поля шара от расстояния до его центра.

Решение

Поле, создаваемое шаром по заданным условиям, имеет сферическую симметрию. Необходимо рассмотреть его внутри шара $\left(r\le R\right)$. Для нахождения $E\left(r\right)$ выбирается сферическая поверхность с радиусом меньше сферы. По теореме Остроградского-Гаусса:

$E·S=\frac{q}{{\epsilon }_1{\epsilon }_0}$, где $S$ - площадь поверхности сферы, которая была выделена. Отсюда следует:

$S=4\pi r^2$.

Заряд, находящийся внутри сферы, ищем из формулы:

$q=\rho V=\rho \frac{4}{3}\pi r^3$.

Очевидно, что будут происходить изменения напряженности поля внутри шара $\left(r\le R\right)$, согласно выражениям:

$E·4\pi r^2=\frac{\rho {\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3}{{\epsilon }_1{\epsilon }_0}$,

$E=\frac{\rho r}{3{\epsilon }_1{\epsilon }_0}$.

Перейдем к рассмотрению поля вне шара $\left(r\ge R\right)$. Для нахождения $E\left(r\right)$ выбираем сферическую поверхность с радиусом больше радиуса сферы. По теореме Остроградского-Гаусса получим:

$E·S=\frac{q}{{\epsilon }_2{\epsilon }_0}$, где $S$ обозначает площадь поверхности выделенной сферы. Отсюда следует:

$S=4\pi r^2$.

Формула $S=4\pi r^2$ имеет $r\ge R$. Поэтому находящийся внутри заряд выделенной сферы находится из:

$q=\rho V=\rho \frac{4}{3}\pi R^3$.

Далее следует подставить площадь из $S=4\pi r^2$, заряд из $q=\rho V=\rho \frac{4}{3}\pi R^3$, подставив в $E·S=\frac{q}{{\epsilon }_2{\epsilon }_0}$:

$E·4{\mathrm{\pi r}}^2=\frac{\mathrm{\rho }{\displaystyle \frac{4}{3}}{\mathrm{\pi R}}^3}{{\mathrm{\epsilon }}_2{\mathrm{\epsilon }}_0}$.

$E=\frac{\rho R^3}{3{\epsilon }_2{\epsilon }_0{r}^2}$.

В результате запишем:

$\left\{\begin{array}{l}E=\frac{\rho r}{3{\epsilon }_1{\epsilon }_0} при r\le R,\\ E=\frac{\rho R^3}{3{\epsilon }_2{\epsilon }_0{r}^2} при r\ge R.\end{array}\right.$

Рисунок $1$

Ответ: графики показаны на рисунке $1$. Внутри шара напряженность увеличивается прямо пропорционально расстоянию от центра шара. Вне шара она равняется $E~\frac{1}{r^2}$. На границе диэлектриков происходит разрыв. Кривая под номером $1$ соответствует условию ${\epsilon }_1>{\epsilon }_2$.

Предположим, что имеется воображаемая сфера, в центре которой находится точечный заряд. Будет ли изменяться поток вектора напряженности через эту поверхность, если: $1)$ все пространство будет заполнено однородным и изотопным диэлектриком, $2)$ произвести замену сферической поверхности на кубическую?

Решение

1. По теореме Остроградского-Гаусса поток вектора напряженности через поверхность сферы в пространстве с диэлектриком будет равняться:

${\Phi }_E={\oint }_S\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\left(q+\sum _{j=1}^K{q}_{jsv}\right)$, со значением $q_{jsv}$ в качестве связанных зарядов, которые вызваны поляризацией диэлектрика полем одиночного заряда, $q$ в качестве свободного заряда, находящегося в центре сферы.

Учитывая теорему Остроградского-Гаусса, формула потока вектора напряженности через поверхность сферы в пространстве без диэлектрика примет вид:

${\Phi }_E={\oint }_S\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}q$.

2. Поле было создано при помощи точечного свободного заряда, то при замене формы поверхности потока вектор напряженности не будет изменяться, потому как равняется аналогичным значению заряда, находящегося на поверхности.

Ответ:

1. изменится,
2. не изменится.