Теорема Виета, формулы Виета

Теорема Виета, формулы Виета

    В квадратных уравнениях существует целый ряд соотношений. Основными являются отношения между корнями и коэффициентами. Также в квадратных уравнениях работает ряд соотношений, которые задаются теоремой Виета.

    В этой теме мы приведем саму теорему Виета и ее доказательство для квадратного уравнения, теорему, обратную теореме Виета, разберем ряд примеров решения задач. Особое внимание в материале мы уделим рассмотрению формул Виета, которые задают связь между действительными корнями алгебраического уравнения степени n и его коэффициентами.

    Формулировка и доказательство теоремы Виета

    Формула корней квадратного уравнения a·x2+b·x+c=0 вида x1=-b+D2·a, x2=-b-D2·a, где D=b24·a·c, устанавливает соотношения x1+x2=-bax1·x2=ca. Это подтверждает и теорема Виета.

    Теорема 1

    В квадратном уравнении a·x2+b·x+c=0, где x1 и x2 – корни, сумма корней будет равна соотношению коэффициентов b и a, которое было взято с противоположным знаком, а произведение корней будет равно отношению коэффициентов c и a, т. е. x1+x2=-bax1·x2=ca.

    Доказательство 1

    Предлагаем вам следующую схему проведения доказательства: возьмем формулу корней, составим суму и произведение корней квадратного уравнения и затем преобразуем полученные выражения для того, чтобы убедиться, что они равны -ba и ca соответственно.

    Составим сумму корней x1+x2=-b+D2·a+-b-D2·a. Приведем дроби к общему знаменателю -b+D2·a+-b-D2·a=-b+D+-b-D2·a. Раскроем скобки в числителе полученной дроби и приведем подобные слагаемые: -b+D+-b-D2·a=-b+D-b-D2·a=-2·b2·a. Сократим дробь на: 2-ba=-ba.

    Так мы доказали первое соотношение теоремы Виета, которое относится к сумме корней квадратного уравнения.

    Теперь давайте перейдем ко второму соотношению.

    Для этого нам необходимо составить произведение корней квадратного уравнения: x1·x2=-b+D2·a·-b-D2·a.

    Вспомним правило умножения дробей и запишем последнее произведение следующим образом: -b+D·-b-D4·a2.

    Проведем в числителе дроби умножение скобки на скобку или же воспользуемся формулой разности квадратов для того, чтобы преобразовать это произведение быстрее: -b+D·-b-D4·a2=-b2-D24·a2.

    Воспользуемся определением квадратного корня для того, чтобы осуществить следующий переход: -b2-D24·a2=b2-D4·a2. Формула D=b24·a·c отвечает дискриминанту квадратного уравнения, следовательно, в дробь вместо D можно подставить b24·a·c:

    b2-D4·a2=b2-(b2-4·a·c)4·a2

    Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим: 4·a·c4·a2. Если сократить ее на 4·a, то остается ca. Так мы доказали второе соотношение теоремы Виета для произведения корней.

    Запись доказательства теоремы Виета может иметь весьма лаконичный вид, если опустить пояснения:

    x1+x2=-b+D2·a+-b-D2·a=-b+D+-b-D2·a=-2·b2·a=-ba,x1·x2=-b+D2·a·-b-D2·a=-b+D·-b-D4·a2=-b2-D24·a2=b2-D4·a2==D=b2-4·a·c=b2-b2-4·a·c4·a2=4·a·c4·a2=ca.

    При дискриминанте квадратного уравнения  равном нулю уравнение будет иметь только один корень. Чтобы иметь возможность применить к такому уравнению теорему Виета, мы можем предположить, что уравнение при дискриминанте, равном нулю, имеет два одинаковых корня. Действительно, при D=0 корень квадратного уравнения равен: -b2·a, тогда x1+x2=-b2·a+-b2·a=-b+(-b)2·a=-2·b2·a=-ba и x1·x2=-b2·a·-b2·a=-b·-b4·a2=b24·a2, а так как D=0, то есть, b2-4·a·c=0, откуда b2=4·a·c, то b24·a2=4·a·c4·a2=ca.

    Чаще всего на практике теорема Виета применяется по отношению к приведенному квадратному уравнению вида x2+p·x+q=0, где старший коэффициент a равен 1. В связи с этим и формулируют теорему Виета именно для уравнений такого вида. Это не ограничивает общности в связи с тем, что любое квадратное уравнение может быть заменено равносильным уравнением. Для этого необходимо поделить обе его части на число a, отличное от нуля.

    Приведем еще одну формулировку теоремы Виета.

    Теорема 2

    Сумма корней в приведенном квадратном уравнении x2+p·x+q=0  будет равна коэффициенту при x, который взят с противоположным знаком, произведение корней будет равно свободному члену, т.е. x1+x2=p, x1·x2=q.

    Теорема, обратная теореме Виета

    Если внимательно посмотреть на вторую формулировку теоремы Виета, то можно увидеть, что для корней x1 и x2 приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0 будут справедливы соотношения x1+x2=p, x1·x2=q. Из этих соотношений x1+x2=p, x1·x2=q следует, что x1 и x2 – это корни квадратного уравнения x2+p·x+q=0. Так мы приходим к утверждению, которое является обратным теореме Виета.

    Предлагаем теперь оформить это утверждение как теорему и провести ее доказательство.

    Теорема 3

    Если числа x1 и x2 таковы, что x1+x2=p и x1·x2=q, то x1 и x2 являются корнями приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0.

    Доказательство 2

    Замена коэффициентов p и q на их выражение через x1 и x2 позволяет преобразовать уравнение x2+p·x+q=0 в равносильное ему x2(x1+x2)·x+x1·x2=0.

    Если в полученное уравнение подставить число x1 вместо x, то мы получим равенство x12(x1+x2)·x1+x1·x2=0. Это равенство при любых x1 и x2 превращается в верное числовое равенство 0=0, так как x12(x1+x2)·x1+x1·x2=x12x12x2·x1+x1·x2=0. Это значит, что x1 – корень уравнения x2(x1+x2)·x+x1·x2=0, и что x1 также является корнем равносильного ему уравнения x2+p·x+q=0.

    Подстановка в уравнение x2(x1+x2)·x+x1·x2=0  числа x2 вместо x позволяет получить равенство x22(x1+x2)·x2+x1·x2=0. Это равенство можно считать верным, так как x22(x1+x2)·x2+x1·x2=x22x1·x2x22+x1·x2=0. Получается, что x2  является корнем уравнения x2(x1+x2)·x+x1·x2=0, а значит, и уравнения x2+p·x+q=0.

    Теорема, обратная теореме Виета, доказана.

    Примеры использования теоремы Виета

    Давайте теперь приступим к разбору наиболее типичных примеров по теме. Начнем с разбора задач, которые требуют применения теоремы, обратной теореме Виета. Ее можно применять для проверки чисел, полученных в ходе вычислений, на предмет того, являются ли они корнями заданного квадратного уравнения. Для этого необходимо вычислить их сумму и разность, а затем проверить справедливость соотношений x1+x2=-ba, x1·x2=ac.

    Выполнение обоих соотношений свидетельствует о том, что числа, полученные в ходе вычислений, являются корнями уравнения. Если же мы видим, что хотя бы одно из условий не выполняется, то данные числа не могут быть корнями квадратного уравнения, данного в условии задачи.

    Пример 1

    Какая из пар чисел 1) x1=5, x2=3, или 2) x1=1-3, x2=3+3, или 3) x1=2+72, x2=2-72 является парой корней квадратного уравнения 4·x216·x+9=0?

    Решение

    Найдем коэффициенты квадратного уравнения 4·x216·x+9=0. Это a=4, b=16, c=9. В соответствии с теоремой Виета сумма корней квадратного уравнения должна быть равна -ba, то есть, 164=4, а произведение корней должно быть равно ca, то есть, 94.

    Проверим полученные числа, вычислив сумму и произведение чисел из трех заданных пар и сравнив их с полученными значениями.

    В первом случае x1+x2=5+3=2. Это значение отлично от 4, следовательно, проверку можно не продолжать. Согласно теореме, обратной теореме Виета, можно сразу сделать вывод о том, что первая пара чисел не является корнями данного квадратного уравнения.

    Во втором случае x1+x2=1-3+3+3=4.  Мы видим, что первое условие выполняется. А вот второе условие нет: x1·x2=1-3·3+3=3+3-3·3-3=-2·3. Значение, которое мы получили, отлично от 94. Это значит, что вторая пара чисел не является корнями квадратного уравнения.

    Перейдем к рассмотрению третьей пары. Здесь x1+x2=2+72+2-72=4 и x1·x2=2+72·2-72=22-722=4-74=164-74=94. Выполняются оба условия, а это значит, что  x1 и x2 являются корнями заданного квадратного уравнения.

    Ответ: x1=2+72, x2=2-72

    Мы также можем использовать теорему, обратную теореме Виета, для подбора корней квадратного уравнения. Наиболее простой способ – это подбор целых корней приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами. Можно рассматривать и другие варианты. Но это может существенно затруднить проведение вычислений.

    Для подбора корней мы используем тот факт, что если сумма двух чисел равна второму коэффициенту квадратного уравнения, взятому со знаком минус, а произведение этих чисел равно свободному члену, то эти числа являются корнями данного квадратного уравнения.

    Пример 2

    В качестве примера используем квадратное уравнение x25·x+6=0. Числа x1 и x2 могут быть корнями этого уравнения в том случае, если выполняются два равенства x1+x2=5 и x1·x2=6. Подберем такие числа. Это числа 2 и 3, так как 2+3=5 и 2·3=6. Получается, что 2 и 3 – корни данного квадратного уравнения.

    Теорему, обратную теореме Виета, можно использовать для нахождения второго корня, когда первый известен или очевиден. Для этого мы можем использовать соотношения x1+x2=-ba, x1·x2=ca.

    Пример 3

    Рассмотрим квадратное уравнение 512·x2509·x3=0. Необходимо найти корни данного уравнения.

    Решение

    Первым корнем уравнения является 1, так как сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю. Получается, что x1=1.

    Теперь найдем второй корень. Для этого можно использовать соотношение  x1·x2=ca. Получается, что 1·x2=3512, откуда x2=-3512.

    Ответ: корни заданного в условии задачи квадратного уравнения 1 и -3512.

    Подбирать корни, используя теорему, обратную теореме Виета, можно лишь в простых случаях. В остальных случаях лучше проводить поиск с использованием формулы корней квадратного уравнения через дискриминант.

    Благодаря теореме, обратной теореме Виета, мы также можем составлять квадратные уравнения по имеющимся корням x1 и x2. Для этого нам необходимо вычислить сумму корней, которая дает коэффициент при x с противоположным знаком приведенного квадратного уравнения, и произведение корней, которое дает свободный член.

    Пример 4

    Напишите квадратное уравнение, корнями которого являются числа 11 и 23.

    Решение

    Примем, что x1=11 и x2=23. Сумма и произведение данных чисел будут равны: x1+x2=12 и x1·x2=253. Это значит, что второй коэффициент -12, свободный член 253.

    Составляем уравнение: x212·x253=0.

    Ответ: x212·x253=0.

    Мы можем использовать теорему Виета для решения заданий, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. Связь между теоремой Виета связана со знаками корней приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0 следующим образом:

    • если квадратное уравнение имеет действительные корни и если свободный член q является положительным числом, то эти корни будут иметь одинаковый знак «+» или «-»;
    • если квадратное уравнение имеет корни и  если свободный член q является отрицательным числом, то один корень будет «+», а второй «-».

    Оба этих утверждения являются следствием формулы x1·x2=q и правила умножения положительных и отрицательных чисел, а также чисел с разными знаками.

    Пример 5

    Являются ли корни квадратного уравнения x264·x21=0 положительными?

    Решение

    По теореме Виета корни данного уравнения не могут быть оба положительными, так как для них должно выполняться равенство x1·x2=21. Это невозможно при положительных x1 и x2.

    Ответ: Нет

    Пример 6

    При каких значениях параметра r квадратное уравнение x2+(r+2)·x+r1=0 будет иметь два действительных корня с разными знаками.

    Решение

    Начнем с того, что найдем значения каких r, при которых в уравнении будет два корня. Найдем дискриминант и посмотрим, при каких r он будет принимать положительные значения. D=(r+2)24·1·(r1)=r2+4·r+44·r+4=r2+8. Значение выражения r2+8 положительно при любых действительных r, следовательно, дискриминант будет больше нуля при любых действительных r. Это значит, что исходное квадратное уравнение будет иметь два корня при любых действительных значениях параметра r.

    Теперь посмотрим, когда корни будут иметь разные знаки. Это возможно в том случае, если их произведение будет отрицательным. Согласно теореме Виета произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену. Значит, правильным решением будут те значения r, при которых свободный член r1 отрицателен. Решим линейное неравенство r1<0, получаем r<1.

    Ответ: при r<1.

    Формулы Виета

    Существует ряд формул, которые применимы для осуществления действий с корнями и коэффициентами не только квадратных, но также кубических и других видов уравнений. Их называют формулами Виета.

    Для алгебраического уравнения степени n вида a0·xn+a1·xn-1+...+an-1·x+an=0  считается, что уравнение имеет n действительных корней x1, x2, , xn , среди которых могут быть совпадающие:
    x1+x2+x3+...+xn=-a1a0,x1·x2+x1·x3+...+xn-1·xn=a2a0,x1·x2·x3+x1·x2·x4+...+xn-2·xn-1·xn=-a3a0,...x1·x2·x3·...·xn=(-1)n·ana0

    Определение 1

    Получить формулы Виета нам помогают:

    • теорема о разложении многочлена на линейные множители;
    • определение равных многочленов через равенство всех их соответствующих коэффициентов.

    Так, многочлен a0·xn+a1·xn-1+...+an-1·x+an  и его разложение на линейные множители вида a0·(x-x1)·(x-x2)·...·(x-xn) равны.

    Если мы раскрываем скобки в последнем произведении и приравниваем соответствующие коэффициенты, то получаем формулы Виета. Приняв n=2, мы можем получить формулу Виета для квадратного уравнения: x1+x2=-a1a0, x1·x2=a2a0.

    Определение 2

    Формула Виета для кубического уравнения:
    x1+x2+x3=-a1a0,x1·x2+x1·x3+x2·x3=a2a0,x1·x2·x3=-a3a0

    Левая часть записи формул Виета содержит так называемые элементарные симметрические многочлены.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter