Решение уравнений четвертой степени
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Решение уравнений четвертой степени

    Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

    Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

    Решение двучленного уравнения четвертой степени

    Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0.

    Определение 1

    Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

    Ax4+B=0x4+BA=0x4+2BAx2+BA-2BAx2=0x2+BA2-2BAx2=0x2-2BA4x+BAx2+2BA4x+BA=0

    Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

    Пример 1

    Решить уравнение четвертой степени 4x4+1=0.

    Решение

    Для начала проведем разложение многочлена 4x4+1 на множители:

    4x4+1=4x4+4x2+1=(2x2+1)2-4x2=2x2-2x+1(2x2+2x+1)

    Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

    Первого:

    2x2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4x1=2+D2·2=12+ix2=2-D2·2=12-i

    Второго:

    2x2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4x3=-2+D2·2=-12+ix4=-2-D2·2=-12-i

    Мы получили четыре комплексных корня.

    Ответ: x=12±i и x=-12±i.

    Решение возвратного уравнения четвертой степени

    Определение 2

    Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0

    х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A0. Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

    Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0Ax2+1x2+Bx+1x+C=0

    Проведем замену переменных x+1x=yx+1x2=y2x2+1x2=y2-2:

    Ax2+1x2+Bx+1x+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0

    Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

    Пример 2

    Найти все комплексные корни уравнения 2x4+23+2x3+4+6x2+23+2x+2=0.

    Решение

    Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x2:

    2x2+23+2x+4+6+23+2x+2x2=0

    Проведем группировку:

    2x2+2x2+23+2x+23+2x+4+6+=02x2+1x2+23+2x+1x+4+6=0

    Проведем замену переменной x+1x=yx+1x2=y2x2+1x2=y2-2

    2x2+1x2+23+2x+1x+4+6=02y2-2+23+2y+4+6=02y2+23+2y+6=0

    Решим полученное квадратное уравнение:

    D=23+22-4·2·6=12+46+2-86==12-46+2=23-22y1=-23-2+D2·2=-23-2+23-24=-22y2=-23-2-D2·2=-23-2-23+24=-3

    Вернемся к замене: x+1x=-22, x+1x=-3.

    Решим первое уравнение:

    x+1x=-222x2+2x+2=0D=22-4·2·2=-14x1=-2-D2·2=-24+i·144x2=-2-D2·2=-24-i·144

    Решим второе уравнение:

    x+1x=-3x2+3x+1=0D=32-4·1·1=-1x3=-3+D2=-32+i·12x4=-3-D2=-32-i·12

    Ответ: x=-24±i·144 и x=-32±i·12.

    Решение биквадратного уравнения

    Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид Ax4+Bx2+C=0. Мы можем свести такое уравнение к квадратному Ay2+By+C=0 путем замены y=x2. Это стандартный прием.

    Пример 3

    Решить биквадратное уравнение 2x4+5x2-3=0.

    Решение

    Выполним замену переменной y=x2, что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

    2y2+5y-3=0D=52-4·2·(-3)=49y1=-5+D2·2=-5+74=12y2=-5-D2·2=-5-74=-3

    Следовательно, x2=12 или x2=-3.

    Первое равенство позволяет нам получить корень x=±12. Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x=±i·3.

    Ответ: x=±12 и x=±i·3.

    Пример 4

    Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16x4+145x2+9=0.

    Решение

    Используем метод замены y=x2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

    16y2+145y+9=0D=1452-4·16·9=20449y1=-145+D2·16=-145+14332=-116y2=-145-D2·16=-145-14332=-9

    Поэтому, в силу замены переменной, x2=-116 или x2=-9.

    Ответ: x1, 2=±14·i, x3, 4=±3·i.

    Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

    Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

    Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

    Уравнения четвертой степени вида x4+Ax3+Bx2+Cx+D=0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y0. Это любой из корней кубического уравнения y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0. После этого необходимо решить два квадратных уравнения x2+A2x+y02+A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0, у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

    Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

    Пример 5

    Найти корни уравнения x4+3x3+3x2-x-6=0.

    Решение

    Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

    Составим и решим кубическое уравнение:
    y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0y3-3y2+21y-19=0

    Одним из корней кубического уравнения будет y0=1, так как 13-3·12+21·1-19=0.

    Запишем два квадратных уравнения:
    x2+A2x+y02±A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0x2+32x+12±14x2+52x+254=0x2+32x+12±12x+522=0

    x2+32x+12+12x+52=0 или x2+32x+12-12x-52=0

    x2+2x+3=0 или x2+x-2=0

    Корнями первого уравнения будут x=-1±i·2, корнями второго х=1 и х=-2.

    Ответ: x1,2=-1±i2, x3=1, x4=-2.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,9 из 5 (11 голосов)