Решение целых и дробно рациональных уравнений
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Решение целых и дробно рациональных уравнений

    Давайте познакомимся с рациональными и дробными рациональными уравнениями, дадим их определение, приведем примеры, а также разберем наиболее распространенные типы задач.

    Рациональное уравнение: определение и примеры

    Знакомство с рациональными выражениями начинается в 8 классе школы. В это время на уроках алгебры учащиеся все чаще начинают встречать задания с уравнениями, которые содержат рациональные выражения в своих записях. Давайте освежим в памяти, что это такое.

    Определение 1

    Рациональное уравнение – это такое уравнение, в обеих частях которого содержатся рациональные выражения.

    В различных пособиях можно встретить еще одну формулировку.

    Определение 2

    Рациональное уравнение – это такое уравнение, запись левой части которого содержит рациональное выражение, а правая – нуль.

    Определения, которые мы привели для рациональных уравнений, являются равнозначными, так как говорят об одно и том же. Подтверждает правильность наших слов тот факт, что для любых рациональных выражений P и Q уравнения P=Q и PQ=0 будут равносильными выражениями.  

    А теперь обратимся к примерам.

    Пример 1

    Рациональные уравнения:

     x=1, 2·x12·x2·y·z3=0, xx2+3·x-1=2+27·x-a·(x+2), 12+34-12x-1=3.

    Рациональные уравнения точно также, как и уравнения других видов, могут содержать любое количество переменных от 1 до нескольких. Для начала мы рассмотрим простые примеры, в которых уравнения будут содержать только одну переменную. А затем начнем постепенно усложнять задачу.

    Рациональные уравнения делятся на две большие группы: целые и дробные. Посмотрим, какие уравнения будут относиться к каждой из групп.

    Определение 3

    Рациональное уравнение будет являться целым в том случае, если в записи левой и правой его частей содержатся целые рациональные выражения.

    Определение 4

    Рациональное уравнение будет являться дробным в том случае, если одна или обе его части содержат дробь.

    Дробно рациональные уравнения в обязательном порядке содержат деление на переменную или же переменная имеется в знаменателе. В записи целых уравнений такого деления нет.

    Пример 2

    3·x+2=0 и (x+y)·(3·x21)+x=y+0,5 – целые рациональные уравнения. Здесь обе части уравнения представлены целыми выражениями.

    1x-1=x3 и x:(5·x3+y2)=3:(x1):5 – это дробно рациональные уравнения.

    К числу целых рациональных уравнений можно отнести линейные и квадратные уравнения.

    Решение целых уравнений

    Решение таких уравнений обычно сводится к преобразованию их в равносильные алгебраические уравнения. Достичь этого можно путем проведения равносильных преобразований уравнений в соответствии со следующим алгоритмом:

    • сначала получим ноль в правой части уравнения, для этого на необходимо перенести выражение, которое находится в правой части уравнения, в его левую часть и поменять знак;
    • затем преобразуем выражение в левой части уравнения в многочлен стандартного вида.

    Мы должны получить алгебраическое уравнение. Это уравнение будет равносильным по отношению к исходному уравнению. Легкие случаи позволяют нам для решения задачи свести целое уравнение с линейному или квадратному. В общем случае мы решаем алгебраическое уравнение степени n.

    Пример 3

    Необходимо найти корни целого уравнения 3·(x+1)·(x3)=x·(2·x1)3.

    Решение

    Проведем преобразование исходного выражения с целью получить равносильное ему алгебраическое уравнение. Для этого произведем перенос выражения, содержащегося в правой части уравнения, в левую часть и заменим знак на противоположный. В итоге получим: 3·(x+1)·(x3)x·(2·x1)+3=0.

    Теперь проведем преобразование выражения, которое находится в левой части в многочлен стандартного вида и произведем необходимые действия с этим многочленом:

    3·(x+1)·(x3)x·(2·x1)+3=(3·x+3)·(x3)2·x2+x+3==3·x29·x+3·x92·x2+x+3=x25·x6

    У нас получилось свести решение исходного уравнения к решению квадратного уравнения вида x25·x6=0. Дискриминант этого уравнения положительный: D=(5)24·1·(6)=25+24=49. Это значит, действительных корней будет два. Найдем их, воспользовавшись формулой корней квадратного уравнения:

    x=--5±492·1,

    x1=5+72 или x2=5-72,

    x1=6 или x2=-1

    Проверим верность корней уравнения, которые мы нашли в ходе решения. Для этого числа, которые мы получили, подставим в исходное уравнение: 3·(6+1)·(63)=6·(2·61)3 и 3·(1+1)·(13)=(1)·(2·(1)1)3. В первом случае 63=63, во втором 0=0. Корни x=6 и x=1 действительно являются корнями уравнения, данного в условии примера.

    Ответ: 6, 1.

    Давайте разберем, что значит «степень целого уравнения». С этим термином мы будем часто встречаться в тех случаях, когда нам надо будет представить целое уравнение в виде алгебраического. Дадим определение понятию.

    Определение 5

    Степень целого уравнения – это степень алгебраического уравнения, равносильного исходному целому уравнению.

    Если посмотреть на уравнения из примера, приведенного выше, можно установить: степень данного целого уравнения вторая.

    Если бы наш курс ограничивался решением уравнений второй степени, то рассмотрение темы на этом можно было бы закончить. Но все не так просто. Решение уравнений третьей степени сопряжено с трудностями. А для уравнений выше четвертой степени и вовсе не существует общих формул корней. В связи с этим решение целых уравнений третьей, четвертой и других степеней требует от нас применения целого ряда других приемов и методов.

    Чаще прочих используется подход к решению целых рациональных уравнений, который основан на методе разложения на множители. Алгоритм действий в этом случае следующий:

    • переносим выражение из правой части в левую с тем, чтобы в правой части записи остался нуль;
    • представляем выражение в левой части как произведение множителей, а затем переходим к совокупности нескольких более простых уравнений.
    Пример 4

    Найдите решение уравнения (x21)·(x210·x+13)=2·x·(x210·x+13).

    Решение

    Переносим выражение из правой части записи в левую с противоположным знаком:  (x21)·(x210·x+13)2·x·(x210·x+13)=0. Преобразование левой части в многочлен стандартного вида нецелесообразно в связи с тем, что это даст нам алгебраическое уравнение четвертой степени: x412·x3+32·x216·x13=0. Легкость преобразования не оправдывает всех сложностей с решением такого уравнения.

    Намного проще пойти другим путем: вынесем за скобки общий множитель x210·x+13. Так мы придем к уравнению вида (x210·x+13)·(x22·x1)=0. Теперь заменим полученное уравнение совокупностью двух квадратных уравнений x210·x+13=0 и x22·x1=0 и найдем их корни через дискриминант: 5+2·3, 5-2·3, 1+2, 1-2.

    Ответ:  5+2·3, 5-2·3, 1+2, 1-2.

    Точно также мы можем использовать метод введения новой переменной. Этот метод позволяет нам переходить к равносильным уравнениям со степенями ниже, чем были степени в исходном целом уравнении.

    Пример 5

    Есть ли корни у уравнения (x2+3·x+1)2+10=2·(x2+3·x4)?

    Решение

    Если мы сейчас попробуем свести целое рациональное уравнение к алгебраическому, то получим уравнение 4 степени, которое не имеет рациональных корней. Потому нам будет проще пойти другим путем: ввести новую переменную у, которая заменит в уравнении выражение x2+3·x.

    Теперь мы будем работать с целым уравнением (y+1)2+10=2·(y4). Перенесем правую часть уравнения в левую с противоположным знаком и проведем необходимые преобразования. Получим: y2+4·y+3=0. Найдем корни квадратного уравнения: y=1 и y=3.

    Теперь проведем обратную замену. Получим два уравнения x2+3·x=1 и x2+3·x=3. Перепишем их как x2+3·x+1=0 и x2+3·x+3=0. Используем формулу корней квадратного уравнения для того, чтобы найти корни первого уравнения из полученных: -3±52 . Дискриминант второго уравнения отрицательный. Это значит, что действительных корней у второго уравнения нет.

    Ответ: -3±52

    Целые уравнения высоких степеней попадаются в задачах достаточно часто. Пугаться их не нужно. Нужно быть готовым применить нестандартный метод их решения, в том числе и ряд искусственных преобразований.

    Решение дробно рациональных уравнений

    Начнем рассмотрение этой подтемы мы с алгоритма решения дробно рациональных уравнений вида p(x)q(x)=0 , где p(x) и q(x) – целые рациональные выражения. Решение остальных дробно рациональных уравнений всегда можно свести к решению уравнений указанного вида.

    В основу наиболее употребимого метода решения уравнений p(x)q(x)=0  положено следующее утверждение: числовая дробь uv, где v – это число, которое отлично от нуля, равна нулю только в тех случаях, когда числитель дроби равен нулю. Следуя логике приведенного утверждения мы можем утверждать, что решение уравнения p(x)q(x)=0  может быть сведено в выполнению двух условий: p(x)=0 и q(x)0. На этом построен алгоритм решения дробных рациональных уравнений вида p(x)q(x)=0 :

    • находим решение целого рационального уравнения p(x)=0;
    • проверяем, выполняется ли для корней, найденных в ходе решения, условие q(x)0.

    Если это условие выполняется, то найденный корень является корнем исходного уравнения. Если нет, то корень не является решением задачи.

    Пример 6

    Найдем корни уравнения 3·x-25·x2-2=0 .

    Решение

    Мы имеем дело с дробным рациональным уравнением вида p(x)q(x)=0, в котором p(x)=3·x2, q(x)=5·x22=0. Приступим к решению линейного уравнения 3·x2=0. Корнем этого уравнения будет x=23.

    Проведем проверку найденного корня, удовлетворяет ли он условию 5·x220. Для этого подставим числовое значение в выражение. Получим: 5·232-2=5·49-2=209-2=290.

    Условие выполняется. Это значит, что  x=23 является корнем исходного уравнения.

    Ответ: 23.

    Есть еще один вариант решения дробных рациональных уравнений p(x)q(x)=0. Вспомним, что это уравнение равносильно целому уравнению p(x)=0 на области допустимых значений переменной x исходного уравнения. Это позволяет нам использовать следующий алгоритм в решении уравнений p(x)q(x)=0 :

    • решаем уравнение p(x)=0;
    • находим область допустимых значений переменной x;
    • берем корни, которые лежат в области допустимых значений переменной x, в качестве искомых корней исходного дробного рационального уравнения.
    Пример 7

    Решите уравнение x2-2·x-11x2+3·x=0.

    Решение

    Для начала решим квадратное уравнение x22·x11=0. Для вычисления его корней мы используем формулу корней для четного второго коэффициента. Получаем D1=(1)21·(11)=12, и x=1±23.

    Теперь мы можем найти ОДЗ переменной x для исходного уравнения. Это все числа, для которых x2+3·x0. Это то же самое, что x·(x+3)0, откуда x0, x3.

    Теперь проверим, входят ли полученные на первом этапе решения корни x=1±23 в область допустимых значений переменной x. Мы видим, что входят. Это значит, что исходное дробное рациональное уравнение имеет два корня x=1±23.

    Ответ​​: x=1±23

    Второй описанный метод решения проще первого в случаях, когда легко находится область допустимых значений переменной x, а корни уравнения p(x)=0 иррациональные. Например, 7±4·269. Корни могут быть и рациональными, но с большим числителем или знаменателем. Например, 1271101 и 3159. Это позволяет сэкономить время на проведении проверки условия q(x)0 : намного проще исключить корни, которые не подходят, по ОДЗ.

    В тех случаях, когда корни уравнения p(x)=0 целые, целесообразнее использовать первый из описанных алгоритмов решения уравнений вида p(x)q(x)=0.  Быстрее сразу находить корни целого уравнения p(x)=0, после чего проверять, выполняется ли для них условие q(x)0, а не находить ОДЗ, после чего решать уравнение p(x)=0 на этой ОДЗ. Это связано с тем, что в таких случаях сделать проверку обычно проще, чем найти ОДЗ.

    Пример 8

    Найдите корни уравнения (2·x-1)·(x-6)·(x2-5·x+14)·(x+1)x5-15·x4+57·x3-13·x2+26·x+112=0.

    Решение

    Начнем с рассмотрения целого уравнения (2·x1)·(x6)·(x25·x+14)·(x+1)=0 и нахождения его корней. Для этого применим метод решения уравнений через разложение на множители. Получается, что исходное уравнение равносильно совокупности четырех уравнений 2·x1=0, x6=0, x25·x+14=0, x+1=0, из которых три линейных и одно квадратное. Находим корни: из первого уравнения x=12, из второго – x=6, из третьего – x=7, x=2, из четвертого – x=1.

    Проведем проверку полученных корней. Определить ОДЗ в данном случае нам сложно, так как для этого придется провести решение алгебраического уравнения пятой степени. Проще будет проверить условие, по которому знаменатель дроби, которая находится в левой части уравнения, не должен обращаться в нуль.

    По очереди подставим корни на место переменной х в выражение x515·x4+57·x313·x2+26·x+112 и вычислим его значение:

     12515·124+57·12313·122+26·12+112==1321516+578134+13+112=122+1320;

    6515·64+57·6313·62+26·6+112=4480;

    7515·74+57·7313·72+26·7+112=0;

    (2)515·(2)4+57·(2)313·(2)2+26·(2)+112=7200;

    (1)515·(1)4+57·(1)313·(1)2+26·(1)+112=0.

    Проведенная проверка позволяет нам установить, что корнями исходного дробного рацинального уравнения являются 12, 6 и 2.

    Ответ: 12, 6, -2

    Пример 9

    Найдите корни дробного рационального уравнения 5·x2-7·x-1·x-2x2+5·x-14=0 .

    Решение

    Начнем работу с уравнением (5·x27·x1)·(x2)=0. Найдем его корни. Нам проще представить это уравнение как совокупность квадратного и линейного уравнений 5·x27·x1=0 и x2=0.

    Используем формулу корней квадратного уравнения для поиска корней. Получаем из первого уравнения два корня x=7±6910 , а из второго x=2.

    Подставлять значение корней в исходное уравнение для проверки условий нам будет достаточно сложно. Проще будет определить ОДЗ переменной x. В данном случае ОДЗ переменной x – это все числа, кроме тех, для которых выполняется условие x2+5·x14=0. Получаем: x-, -7-7, 22, +.

    Теперь проверим, принадлежат ли найденные нами корни к области допустимых значений переменной x.

    Корни x=7±6910 - принадлежат, поэтому, они являются корнями исходного уравнения, а x=2 – не принадлежит, поэтому, это посторонний корень.

    Ответ: x=7±6910.

    Разберем отдельно случаи, когда в числителе дробного рационального уравнения вида p(x)q(x)=0 находится число. В таких случаях, если в числителе находится число, отличное от нуля, то уравнение не будет иметь корней. Если это число будет равно нулю, то корнем уравнения будет любое число из ОДЗ.

    Пример 10

    Решите дробное рациональное уравнение -3,2x3+27=0.

    Решение

    Данное уравнение не будет иметь корней, так как в числителе дроби из левой части уравнения находится отличное от нуля число. Это значит, что ни при каких значениях x значение приведенной в условии задачи дроби не будет равняться нулю.

    Ответ: нет корней.

    Пример 11

    Решите уравнение 0x4+5·x3=0.

    Решение

    Так как в числителе дроби находится нуль, решением уравнения будет любое значение x из ОДЗ переменной x.

    Теперь определим ОДЗ. Оно будет включать все значения x, при которых x4+5·x30. Решениями уравнения x4+5·x3=0 являются 0 и 5, так как, это уравнение равносильно уравнению x3·(x+5)=0, а оно в свою очередь равносильно совокупности двух уравнений x3=0 и x+5=0, откуда и видны эти корни. Мы приходим к тому, что искомой областью допустимых значений являются любые x, кроме x=0 и x=5.

    Получается, что дробное рациональное уравнение 0x4+5·x3=0 имеет бесконечное множество решений, которыми являются любые числа кроме нуля и -5.

    Ответ: -, -5(-5, 00, +

    Теперь поговорим о дробных рациональных уравнениях произвольного вида и методах их решения. Их можно записать как r(x)=s(x), где r(x) и s(x) – рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное. Решение таких уравнений  сводится к решению уравнений вида p(x)q(x)=0.

    Мы уже знаем, что мы можем получить равносильное уравнение при переносе выражения из правой части уравнения в левое с противоположным знаком. Это значит, что уравнение  r(x)=s(x) равносильно уравнение r(x)s(x)=0. Также мы уже разобрали способы преобразования рационального выражения в рациональную дробь. Благодаря этому мы без труда можем преобразовать уравнение r(x)s(x)=0 в тождественную ему рациональную дробь вида p(x)q(x).

    Так мы переходим от исходного дробного рационального уравнения r(x)=s(x)  к уравнению вида p(x)q(x)=0, решать которые мы уже научились.

    Следует учитывать, что при проведении переходов от r(x)s(x)=0 к p(x)q(x)=0 , а затем к p(x)=0 мы можем не учесть расширения области допустимых значений переменной x.

    Вполне реальна ситуация, когда исходное уравнение r(x)=s(x) и уравнение p(x)=0  в результате преобразований перестанут быть равносильными. Тогда решение уравнения p(x)=0 может дать нам корни, которые будут посторонними для r(x)=s(x). В связи с этим в каждом случае необходимо проводить проверку любым из описанных выше способов.

    Чтобы облегчить вам работу по изучению темы, мы обобщили всю информацию в алгритм решения дробного рационального уравнения вида r(x)=s(x):

    • переносим выражение из правой части с противоположным знаком и получаем справа нуль;
    • преобразуем исходное выражение в рациональную дробь p(x)q(x), последовательно выполняя действия с дробями и многочленами;
    • решаем уравнение p(x)=0;
    • выявляем посторонние корни путем проверки их принадлежности ОДЗ или методом подстановки в исходное уравнение.

    Визуально цепочка действий будет выглядеть следующим образом:

    r(x)=s(x)r(x)-s(x)=0p(x)q(x)=0p(x)=0отсеиваниепостороннихкорней

    Пример 12

    Решите дробное рациональное уравнение xx+1=1x+1.

    Решение

    Перейдем к уравнению xx+1-1x+1=0. Преобразуем дробное рациональное выражение в левой части уравнения к виду p(x)q(x).

    Для этого нам придется привести рациональные дроби к общему знаменателю и упростить выражение:

    xx+1-1x-1=x·x-1·(x+1)-1·x·(x+1)x·(x+1)==x2-x-1-x2-xx·(x+1)=-2·x-1x·(x+1)

    Для того, чтобы найти корни уравнения -2·x-1x·(x+1)=0, нам необходимо решить уравнение 2·x1=0. Получаем один корень x=-12.

    Нам осталось выполнить проверку любым из методов. Рассмотрим их оба.

    Подставим полученное значение в исходное уравнение. Получим -12-12+1=1-12+1. Мы пришли к верному числовому равенству 1=1. Это значит, что x=12 является корнем исходного уравнения.

    Теперь проведем проверку через ОДЗ. Определим область допустимых значений переменной x. Это будет все множество чисел, за исключением 1 и 0 (при x=1 и x=0 обращаются в нуль знаменатели дробей). Полученный нами корень x=12 принадлежит ОДЗ. Это значит, что он является корнем исходного уравнения.

    Ответ: 12.

    Пример 13

    Найдите корни уравнения x1x+3-1x=-23·x.

    Решение

    Мы имеем дело с дробным рациональным уравнением. Следовательно, будем действовать по алгоритму.

    Перенесем выражение из правой части в левую с противоположным знаком: x1x+3-1x+23·x=0

    Проведем необходимые преобразования: x1x+3-1x+23·x=x3+2·x3=3·x3=x.

    Приходим к уравнению x=0. Корень этого уравнения – нуль.

    Проверим, не является ли этот корень посторонним для исходного уравнения. Подставим значение в исходное уравнение: 010+3-10=-23·0. Как видите, полученное уравнение не имеет смысла. Это значит, что 0 – это посторонний корень, а исходное дробное рациональное уравнение корней не имеет.

    Ответ: нет корней.

    Если мы не включили в алгоритм другие равносильные преобразования, то это вовсе не значит, что ими нельзя пользоваться. Алгоритм универсален, но он создан для того, чтобы помогать, а не ограничивать.

    Пример 14

    Решите уравнение 7+13+12+15-x2=7724

    Решение

    Проще всего будет решить приведенное дробное рациональное уравнение согласно алгоритму. Но есть и другой путь. Рассмотрим его.

    Отнимем от правой и левой частей 7, получаем: 13+12+15-x2=724 .

    Отсюда можно заключить, что выражение в знаменателе левой части должно быть равно числу, обратному числу из правой части, то есть, 3+12+15-x2=247.

    Вычтем из обеих частей 312+15-x2=37. По аналогии 2+15-x2=73, откуда 15-x2=13, и дальше 5-x2=3, x2=2, x=±2

    Проведем проверку для того, чтобы установить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.

    Ответ: x=±2

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,9 из 5 (18 голосов)