Схема Горнера

Схема Горнера

    В этой статье мы расскажем об удобной схеме решения примеров на деление многочленов. Если нам нужно вычислить коэффициент частного Pn(x)=anan+an-1xn-1+...+a1x+a0 и остаток от деления многочлена на линейный двучлен x-s, то удобно будет воспользоваться схемой (методом) Горнера.

    Она заключается в создании особой таблицы и занесении в нее исходных данных:

    si коэффициенты многочленов
      an an-1 an-2 ... a0
    s an=bn an-1+bn·s=bn-1 an-2+bn-1·s=bn-2 ... a0+b1·s=b0

    Числа bn, bn-1, bn-2,..., b1 и будут нужными нам коэффициентами от деления Pn(x)=anan+an-1xn-1+...+a1x+a0 на x-s. Остаток обозначен здесь как b0. Иначе можно записать решение так:

    Теперь покажем , как именно применять эту схему на практике.

    Пример 1

    Условие: разделите многочлен 2x4-3x3-x2+4x+13 на линейный двучлен х-1, используя схему Горнера.

    Решение

    Заполним таблицу. У нас есть s, равный единице, и коэффициенты a4=2, a3=-3, a2=-1, a1=4, a0=13.

    si коэффициенты многочленов
      a4=2 a3=-3 a2=1 a1=4 a0=13
    s=1 a4=2=b4 a3+b4·s==-3+2·1==-1=b3 a2+b3·s==-1+(-1)·1==-2=b2 a1+b2·s=4+(-2)·1==2=b1 a0+b1·s==13+2·1==15=b0

    Ответ: получили частное, равное b4x3+b3x2+b2x+b1=2x3-x2-2x+2 , и остаток b0=15.

    Во второй задаче мы обойдемся без подробных комментариев.

    Пример 2

    Условие: определите, можно ли разделить многочлен 2x3-11x2+12x+9 на двучлен x+12 без остатка. Вычислите частное.

    Решение

    Заполним таблицу согласно схеме Горнера.

    si коэффициенты многочленов
      2 -11 12 9
    -12 2 -11+2·-12=-12 12+-12·-12=18 9+18·-12=0

    В последней ячейке мы видим нулевой остаток, следовательно, разделить исходный многочлен на двучлен можно.

    Ответ: частное будет представлять из себя многочлен 2x2-12x+18.

    Если b0=0, то можно говорить о делимости многочлена Pn(x)=anan+an-1xn-1+...+a1x+a0 на двучлен x-s, и мы имеем корень исходного многочлена, равный s. Используя следствие из теоремы Безу, можем представить этот многочлен в виде произведения:

    Pn(x)=anan+an-1xn-1+...+a1x+a0==x-s(bnxn+1+bn-1xn-2+...+b1)

    Благодаря этому схема Горнера хорошо подходит для тех случаев, когда нужно отыскать целые корни уравнений высших степеней, имеющих целые коэффициенты, или же разложить многочлен на простые множители.

    Пример 3

    Условие: решите уравнение x3-7x-6=0. Разложите многочлен слева на отдельные множители.

    Решение

    Мы знаем, что целые корни уравнения (если они есть) нужно искать среди делителей свободного члена. Запишем их отдельно 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6 и проверим, используя схему Горнера.

    xi коэффициенты многочленов
      a3=1 a2=0 a1=-7 a0=-6
    1 1 0+1·1=1 -7+1·1=-6 -6+-6·1=-12

    Из данных таблицы видно, что единица не будет входить в число корней данного уравнения.

    Дополним таблицу еще одним возможным корнем.

    xi коэффициенты многочленов
      a3=1 a2=0 a1=-7 a0=-6
    1 1 0+1·1=1 -7+1·1=-6 -6+-6·1=-12
    -1 1 0+1·(-1)=-1 -7+-1·-1=-6 -6+(-6)·(-1)=0

    А вот -1 подходит, значит, мы можем представить исходный многочлен как x3-7x-6=(x+1)(x2-x-6).

    Проверяем делители дальше. Начнем с -1, поскольку возможно повторение корней, но в качестве коэффициентов будем брать значения последней строки:

    xi коэффициенты многочленов
      a3=1 a2=0 a1=-7 a0=-6
    1 1 0+1·1=1 -7+1·1=-6 -6+-6·1=-12
    -1 1 0+1·(-1)=-1 -7+-1·-1=-6 -6+(-6)·(-1)=0
    -1 1 -1+1·-1=-2 -6+-2·-1=-4  

    Из этого следует, что -1 не будет кратным (повторяющимся) корнем. Берем следующий вариант и вычисляем:

    xi коэффициенты многочленов
      a3=1 a2=0 a1=-7 a0=-6
    1 1 0+1·1=1 -7+1·1=-6 -6+-6·1=-12
    -1 1 0+1·(-1)=-1 -7+-1·-1=-6 -6+(-6)·(-1)=0
    -1 1 -1+1·-1=-2 -6+-2·-1=-4  
    2 1 -1+1·2=1 -6+1·2=-4  

    Число 2 не входит в число корней уравнения. Дополним таблицу Горнера для х=-2:

    xi коэффициенты многочленов
      a3=1 a2=0 a1=-7 a0=-6
    1 1 0+1·1=1 -7+1·1=-6 -6+-6·1=-12
    -1 1 0+1·(-1)=-1 -7+-1·-1=-6 -6+(-6)·(-1)=0
    -1 1 -1+1·-1=-2 -6+-2·-1=-4  
    2 1 -1+1·2=1 -6+1·2=-4  
    -2 1 -1+1·-2=-3 -6+-3·-2=0  

    Минус два будет корнем исходного уравнения. Мы можем записать многочлен так:

    x3-7x-6=(x+1)(x2-x-6)==(x+1)(x+2)(x-3)

    Третий и последний корень уравнения будет равен трем. Закончим заполнение таблицы, взяв значения последней полученной строки в качестве коэффициентов:

    xi коэффициенты многочленов
      a3=1 a2=0 a1=-7 a0=-6
    1 1 0+1·1=1 -7+1·1=-6 -6+-6·1=-12
    -1 1 0+1·(-1)=-1 -7+-1·-1=-6 -6+(-6)·(-1)=0
    -1 1 -1+1·-1=-2 -6+-2·-1=-4  
    2 1 -1+1·2=1 -6+1·2=-4  
    -2 1 -1+1·-2=-3 -6+-3·-2=0  
    3 1 -3+1·3=0    

    Из этого можно сделать вывод, что последняя полученная таблица, заполненная по методу Горнера, и будет решением нашего примера. Эту задачу можно было решить и делением многочлена на линейный двучлен столбиком, однако показанная здесь схема нагляднее и проще.

    Ответ:  х=-1, х=-2, х=3, x3-7x-6=(x+1)(x+2)(x-3).

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    5,0 из 5 (12 голосов)