Как вынести множитель из-под знака корня: теория, примеры, решения

Как вынести множитель из-под знака корня: теория, примеры, решения

    В данном материале мы продолжим рассказывать о том, как преобразовывать рациональные выражения, а конкретно о том, как правильно выносить множитель из-под знака корня. В первом пункте объясним, зачем нужно такое преобразование, далее покажем, как именно оно делается и сформулируем общее для всех случаев правило. Далее покажем, какие существуют методы, чтобы привести подкоренное выражение к удобному для преобразования виду, и разберем примеры решений задач.

    Что такое вынесение множителя из-под знака корня

    Чтобы лучше понять суть подобного преобразования, нужно сначала сформулировать, что такое вообще вынесение множителя из-под знака корня. Сформулируем определение:

    Определение 1

    Вынесение множителя из-под знака корня представляет собой замену выражения Bn·Cn на произведение B·Cn с условием, что n – нечетное число, или же на произведение B·C – где n – четное число, а B и C – другие числа и выражения.

    Если мы имеем в виду только квадратный корень, то есть число n равно двум, то процесс вынесения множителя можно свести к замене выражения B2·C на произведение B·C.  Отсюда и название данного преобразования: после того, как оно было проведено, множитель By оказывается свободным от знака корня.

    Приведем примеры, поясняющие данное определение. Так, допустим, у нас есть выражение 22·3. Оно аналогично B2·C, где B равно двум, а C – трем. Заменив данный корень на произведение 2·3 и опустив знаки модулей (это можно сделать, поскольку оба множителя являются положительными числами), мы получим 2·3. Мы вынесли множитель 22 из-под знака корня.

    Приведем еще один пример подобного преобразования. У нас есть выражение (x2-3·x·y·z)2·x=x2-3·x·y·z·x. Здесь из-под корня был вынесен не просто числовой множитель, а целое выражение с переменными (x23·x·y·z)2.

    Оба примера относятся к случаю вынесения множителя из-под квадратного корня. Можно также производить данные преобразования и для корней n-ной степени. Вот пример с кубическим корнем: (3·a2)3·2·a23=3·a2·2·a23

    Пример с корнем шестой степени: 12·x2+y26·5·(x2+y2)6 можно преобразовать в произведение 12·x2+y2·5·(x2·y2)6, которое, в свою очередь, упрощается до 12·(x2+y2)·5·(x2+y2)6.  В данном случае мы выносим множитель 12·x2+y26.

    Мы выяснили, что такое вынесение множителя из-под знака корня. Теперь перейдем к доказательствам, т.е. поясним, почему произведение, полученное в итоге данного преобразования, равнозначно исходному выражению.

    Почему возможно заменить корень на произведение

    В этом пункте мы будем разбираться, как возможна такая замена и почему корень Bn·Cn равнозначен произведениям B·Cn и B·Cn. Обратимся к ранее изученным теоретическим положениям.

    Когда мы разбирали преобразование иррациональных выражений, у нас получились некоторые важные результаты, которые мы собрали в таблицу. Здесь нам будут нужны только два из них:

    1. Выражение A·Bn при условии нечетности n может быть заменено на An·Bn, а для четных nAn·Bn.

    2. Выражение Ann при нечетном значении n может быть преобразовано в A, а при четном – в |A|.

    Определение 2

    Используя эти результаты и зная основные свойства модуля, мы можем вывести следующее:

    • при четном n: Bn·Cn=Bnn·Cn=B·Cn;
    • при нечетном n: Bn·Cn=Bnn·Cn=Bnn·Cn=B·Cn.

    Эти выражения лежат в основе преобразований, которые мы проводим, вынося множитель из-под знака корня.

    Следовательно, можно вывести две формулы:

    Определение 3
    • B1n·B2n·...·Bkn·Cn=B1·B2·...·Bk·Cn для нечетного n;
    • B1n·B2n·...·Bkn·Cn=B1·B2·...·Bk·Cn для четного n.

    Здесь B1, B2, и др. могут быть как числами, так и выражениями.

    С помощью данных формул можно выполнить вынесение из-под корня сразу нескольких множителей.

    Основное правило вынесения множителя из-под корня

    Когда нам нужно решать примеры с подобными преобразованиями, чаще всего приходится предварительно приводить подкоренное выражение к виду Bn·C.  С учетом этого момента мы можем записать следующие правила.

    Определение 4

    Для вынесения множителя из-под корня в выражении An нужно предварительно привести корень к виду Bn·Cn и после этого перейти к произведению B·Cn (при нечетном показателе) или к B·Cn (при четном показателе, при необходимости раскрываем модули).  

    Таким образом, схема решения подобных задач выглядит следующим образом:

    AnBn·CnB·Cn, если n-нечетноеB·Cn, если n-четное

    Если нам надо вынести несколько множителей, то действуем так:

    AnB1n·B2n·...·Bkn·CnB1·B2·...·Bk·Cn, если n-нечетноеB1·B2·...·Bk·Cn, если n-четное

    Теперь можно переходить к решению задач.

    Задачи на вынесение множителя из-под знака корня

    Пример 1

    Условие: выполните вынесение множителя за знак корня в трех выражениях: 22·7, -1232·5, (-0,4)7·117.

    Решение

    Мы видим, что подкоренные выражения во всех трех случаях уже имеют нужный нам вид. Поскольку в первых двух примерах показателем корня является четное число, а в третьем – нечетное, записываем следующее:

    1.  Показатель корня равен 2. Берем правило вынесения множителя для четного показателя и вычисляем: 22·7=2·7=2·7
    2. Во втором выражении показатель тоже четный, значит,  -1232·5=-123·5=123·5
      В этом случае мы можем сначала преобразовать выражения, исходя из основных свойств корня:
      -1232·5=-12·1232·5=1232·5
      А потом уже выносить множитель: 1232·5=123·5=123·5.
    3. Последнее выражение имеет нечетный показатель, поэтому нам понадобится другое правило: (-0,4)7·117=-0,4·117.
      Возможен и такой вариант расчета:
      -0,47·117=(-1)7·0,47·117==-0,47·117=-0,47·117=-0,4·117
      ​​​​​​Или такой:
      -0,47·117=(-1)7·0,47·117==-0,47·117=0,47·-117=0,4·-117=-0,4·117

    Ответ: 1) 2·7; 2) 123·5; 3) -0,4·117.

    Пример 2

    Условие: преобразуйте выражение (-2)4·(0,3)4·74·114.

    Решение:

    При помощи схемы, приведенной во втором пункте статьи, мы можем вынести из-под корня сразу три множителя.

    (-2)4·(0,3)4·74·114==-2·0,3·7·114=4,2·114

    Можно сделать преобразование в несколько шагов, вынося множителя по одному, но так будет гораздо дольше.

    Есть и другой способ. Преобразуем само выражение, приведя его к виду Bn·C. После этого уже будем выносить множители:

    (-2)4·(0,3)4·74·114==(-2·0,3·7)4·114=(-4,2)4·114==-4,2·114=4,2·114

    Ответ: (-2)4·(0,3)4·74·114=-4,2·114=4,2·114.

    Разберем более подробно тот случай, когда подкоренное выражение требует предварительного преобразования. Здесь есть несколько моментов, которые нужно дополнительно пояснить.

    Предварительное преобразование подкоренного выражения

    Мы уже отмечали, что выражение под корнем не всегда имеет удобный для нас вид. Часто корень дан как An, и множитель, который нужно вынести, не представлен в явном виде. Иногда это обозначено в условии, но довольно часто множитель приходится определять самостоятельно. Посмотрим, как надо действовать в этих случаях.

    Допустим, нам надо вынести заранее определенный множитель B. Естественно, подкоренное выражение должно быть таким, чтобы эта операция была возможна. Тогда для преобразования An в Bn·Cn достаточно определить второй множитель, т.е. вычислить значение C из выражения A=Bn·C.

    Пример 3

    Условие: есть выражение 24·x3. Вынесите из-под знака корня множитель 23.

    Решение

    Здесь мы имеем n=3, A=24·x, B3=23 . Тогда из A=Bn·С вычисляем C=A:(Bn) =24·x:(23) =3·x.

    Значит, 24·x3=23·3·x3. Подкоренное выражение имеет нужный нам вид, и мы можем воспользоваться правилом для нечетного показателя и подсчитать: 24·x3=23·3·x3=2·3·x3.

    Ответ: 24·x3=2·3·x3.

    А как быть в случае, если множитель, который нужно вынести, не указан?  Тогда у нас есть определенная свобода выбора, и мы можем использовать несколько подходов к решению задачи.

    Допустим, нам дано выражение, под корнем у которого стоит степень или произведение нескольких степеней. В таком случае, зная основные свойства степени, мы можем преобразовать выражение в удобный для нас вид с очевидно указанными множителями для вынесения.

    Пример 4

    Условие: необходимо вынести множитель из-под корня в трех выражениях  – 24·54, 27·54, 222·54.

    Решение 

    Преобразование первого выражения не представляет особой сложности, т.к. подобные примеры мы уже разбирали. Сразу вычисляем: 24·54=2·54=2·54.

    Во втором примере легко догадаться, как преобразовать подкоренное выражение: нужно просто представить 27 как 24·23.

    27·54=24·23·54=24·404=2·404=2·404

    В последнем примере также нужно начать с преобразования подкоренного выражения. Сразу отметим, что итоговый вид будет таким:

    254·22·54

    Теперь покажем, как именно прийти к этому виду. Сначала выполняем деление 22 на 4, получаем 5 с остатком 2 (если нужно, повторите, как правильно выполнять деление с остатком). Иначе говоря, 22 можно рассматривать как 4·5+2. Используя свойства степени, можем записать:

    222+25·4+2=25·4·22=(25)4·22

    Таким образом:

    222·54=(25)4·22·54=(25)4·204==25·204=32·204

    Ответ: 1) 24·54=2·54, 2) 27·54=2·404, 3) 222·54=32·204.

    Если выражение под корнем не является степенью или произведением степеней, надо попробовать представить его в таком виде. Чаще всего встречаются следующие случаи.

    Подкоренное выражение – натуральное составное число. Тогда мы сразу можем увидеть нужные множители, которые надо вынести из-под знака корня, предварительно разложив данное число на простые множители.

    Пример 5

    Условие: выполните вынесение множителя из-под знака корня в следующих выражениях: 1) 45; 2) 135; 3) 3456; 4) 102.

    1.  Выполняем разложение 45 на простые множители.

    451551335

    То есть 45=3·3·5=32·5, а 45=32·5. В этом выражении видно, что выносить мы будем множитель 32. Вычисляем:

    32·5=3·5=3·5

    1. Теперь представим в нужном виде число 135 и получим: 135=3·3·3·5=33·15. Иначе можно записать, что 32·3·5=32·15. Следовательно, 135=32·15. Мы видим, что вынесению из-под знака корня подлежит множитель 32:

    32·15=3·15=3·15

    1. Разложим на простые множители число 3456:

    3456172886443221610854279312222222333

    У нас получилось, что 3456=27·33 , а 3456=27·33. Поскольку 27=23·2+1=(23)2·2 и 33=32·3, то 27·33=(23)2·2·32·3=(23)2·32·6==23·3·6=24·6

    1.  Представим натуральное число 102 как произведение простых множителей и получим 2·3·17. Видим, что все множители имеют показатель, равный единице, а показатель корня в этом примере равен двум. Следовательно, в данном примере ни один множитель не нужно выносить из-под знака корня, то есть такое действие для 102 нецелесообразно.

    Ответ: 1) 45=3·5; 2) 135=3·15; 3) 3456=24·6; 4) 102.

    Теперь разберем, как решать примеры, у которых подкоренное выражение представлено в виде обыкновенной дроби. В этом случае следует числитель и знаменатель разложить на простые множители и посмотреть, можно ли вынести какие-то из них за знак корня. Если у нас есть десятичная дробь или смешанное число, предварительно заменяем их обыкновенными дробями, после чего переходим от корня отношения к отношению корней.

    Пример 6

    Условие: выполните вынесение множителя за корень в выражении 200·0,000189·x3 и упростите его.

    Решение

    Для начала перейдем от десятичной дроби к обыкновенной и разложим ее числитель и знаменатель на простые множители.

    0,189=1891000000=33·726·56

    Используя свойства степени, перепишем выражение в следующем виде:

    322·523·7

    Подставим получившееся выражение в исходное и получим:

    200·0,000189·x3==200·322·523·7·x3==200·322·52·7·x3=6·7·x3

    К такому же ответу можно прийти и с помощью других преобразований:

    200·0,000189·x3==200·1891000000·x3=200·18910000003·x3==200·189310000003·x3=200·33·7310033·x3==200·3·73100·x3=6·73·x3=6·7·x3

    Ответ: 200·0,000189·x3=6·7·x3.

    Иными словами, для обнаружения множителя, который можно вынести за знак корня, можно преобразовывать подкоренное выражение любыми допустимыми способами.

    Пример 7

    Условие: выполните упрощение иррационального выражения 2·(3+2·2).

    Решение

    Мы можем преобразовать выражение в скобках как 2+2·2+1 и далее как 22+2·2·1+12.

    То, что у нас получилось, можно свернуть в квадрат суммы с помощью формулы сокращенного умножения: 22+2·2·1+1=2+12.

    В итоге: 2·3+2·2=2·2+12. Теперь выносим 2+12 за знак корня и упрощаем выражение:

    2·2+12=2·2+1==2·2+1=2+2

    Ответ: 2·3+2·2=2+2.

    Теперь посмотрим, как вынести из-под знака корня выражение, содержащее переменные. В целом можно сказать, что для этого используются те же методы, что и при работе с числами.

    Пример 8

    Условие: вынесите множитель из-под знака корня в выражениях (x-5)54 и  (x-5)64.

    Решение

    1. Выполняем преобразование в первом примере.

    (x-5)54=(x-5)4·x-54=x-5·x-54

    Знак модуля можно опустить. Посмотрим, каким условием определяется область допустимых значений переменной для исходного выражения. Таким условием будет неравенство (x5)50. Для его решения выбираем метод интервалов и получаем x5. Если значение x принадлежит области допустимых значений, то значением выражения x-5 будет неотрицательное число. Значит, можем записать следующее:

    x-5·x-54=x-5·x-54

    1. (x-5)64=(x-5)4·x-524==x-5·(x-5)24=x-5·x-524

    Выполним сокращение показателей корня и степени на два. Обратимся к таблице результатов из статьи о преобразовании иррациональных выражений, о которой мы говорили выше. Возьмем из нее следующий результат: выражение Amn·m можно заменить на An при условии, что m и n – натуральные числа.  Следовательно, 

    x-5·x-524=x-5·x-5

    Нужно ли здесь убирать знак модуля? Посмотрим на область допустимых значений данного выражения: ее составляют все действительные числа, поскольку (x5)60 для любого x. При этом значения x5 могут быть больше 0, если x>5, равными 0 или отрицательными. Значит, оставляем выражение в виде x-5·x-5 или представляем его в виде системы уравнений

    (x-5)·x-5, x5(5-x)·5-x, x<5

    Ответ: 1) (x-5)54=(x-5)·x-54; 2) (x-5)64=x-5·x-5.

    Пример 9

    Условие: выполните упрощение выражения x5+2·x4·y+x3·y2.

    Решение

    Выносим за скобки x3 и получаем x3·(x2+2·x·y+y2). Выражение в скобках можно представить в виде квадрата суммы: x3·(x2+2·x·y+y2)=x3·(x+y)2.

    Теперь видим множители, подлежащие вынесению из-под корня: x3·(x+y)2=x2·x·(x+y)2=x·x+y·x

    Также мы можем убрать знаки модуля, в которых находится x, поскольку область допустимых значений будет определена условием x5+2·x4·y+x3·y20. Оно равносильно x3·(x+y)20, а из него можно сделать вывод, что x0. У нас получилось, что x·x+y·x.

    Ответ: x5+2·x4·y+x3·y2=x·x+y·x.

    Это все, что мы хотели бы вам рассказать о вынесении множителя за знак корня. В следующей статье мы разберем обратное действие – внесение множителя под корень.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,2 из 5 (15 голосов)