Расстояние от точки до точки: формулы, примеры, решения, формула расстояния между двумя точками

Расстояние от точки до точки: формулы, примеры, решения

    В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.

    Определение 1

    Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.

    Расстояние между точками на координатной прямой

    Исходные данные: координатная прямая Ox и лежащая на ней произвольная точка А. Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число хA, оно же – координата точки А.

    В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.

    Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой ОА отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка OA по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.

    К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О, необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату -4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние ОА равно 3; во втором случае ОА = 4.

    Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднительным представляется отложить на координатной прямой дробь 4111.

    Вышеуказанным способом отложить на прямой иррациональное число и вовсе невозможно. К примеру, когда координата точки А равна  11 . В таком случае возможно обратиться к абстракции: если заданная координата точки А больше нуля, то OA=xA (число принимается за расстояние); если координата меньше нуля, то OA=-xA . В общем, эти утверждения справедливы для любого действительного числа xA.

    Резюмируя: расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно:

    • 0, если точка совпадает с началом координат;
    • xA , если xA>0;
    • -xA , если xA<0 .

    При этом очевидно, что сама длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому, используя знак модуля, запишем расстояние от точки O до точки A с координатой xAOA=xA

    расстояние от точки O до точки A с координатой xA: OA=xA

    Верным будет утверждение: расстояние от одной точки до другой будет равно модулю разности координат. Т.е. для точек A и B, лежащих на одной координатной прямой при любом их расположении и имеющих соответственно координаты xA и xB : AB=xB-xA.

    координаты xA и xB : AB=xB-xA

    Расстояние между точками на плоскости

    Исходные данные: точки A и B, лежащие на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy с заданными координатами: A(xA, yA) и B(xB, yB) .

    Проведем через точки А и B перпендикуляры к осям координат Ox и Oy и получим в результате точки проекции: AxAyBx, By. Исходя из расположения точек А и B далее возможны следующие варианты:

    - если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;

    - если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Ox (оси абсцисс), то точки и совпадают, а |АВ| = |АyBy|. Поскольку, расстояние между точками равно модулю разности их координат, то AyBy=yB-yA , а, следовательно AB=AyBy=yB-yA.

    AB=AyBy=yB-yA

    - если точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси Oy (оси ординат) – по аналогии с предыдущим пунктом: AB=AxBx=xB-xA

    AB=AxBx=xB-xA

    - если точки A и B не лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, найдем расстояние между ними, выведя формулу расчета:

    A и B не лежат на прямой, расстояние между ними.

    Мы видим, что треугольник АВС  является прямоугольным по построению. При этом AC=AxBx и BC=AyBy. Используя теорему Пифагора, составим равенство: AB2=AC2+BC2AB2=AxBx2+AyBy2 , а затем преобразуем его: AB=AxBx2+AyBy2=xB-xA2+yB-yA2=(xB-xA)2+(yB-yA)2

    Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек

    AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2

    Полученная формула также подтверждает ранее сформированные утверждения для случаев совпадения точек или ситуаций, когда точки лежат на прямых, перпендикулярных осям. Так, для случая совпадения точек A и B будет верно равенство: AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=02+02=0

    Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс:

    AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=02+(yB-yA)2=yB-yA

    Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат:

    AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=(xB-xA)2+02=xB-xA

    Расстояние между точками в пространстве

    Исходные данные: прямоугольная система координат Oxyz с лежащими на ней произвольными точками с заданными координатами A(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB) . Необходимо определить расстояние между этими точками.

    Рассмотрим общий случай, когда точки A и B не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные координатным осям, и получим соответствующие точки проекций: Ax, Ay,  Az, Bx, By, Bz

    получим соответствующие точки проекций: Ax, Ay,  Az, Bx, By, Bz

    Расстояние между точками A и B являет собой диагональ полученного в результате построения параллелепипеда. Согласно построению измерения этого параллелепипеда: AxBx, AyBy и AzBz

    Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2

    Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:

    AxBx=xB-xA, AyBy=yB-yA, AzBz=zB-zA

    Преобразуем выражение:

    AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2=xB-xA2+yB-yA2+zB-zA2==(xB-xA)2+(yB-yA)2+zB-zA2

    Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом:

    AB=xB-xA2+yB-yA2+(zB-zA)2

    Полученная формула действительна также для случаев, когда:

    - точки совпадают;

    - лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.

    Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками

    Пример 1

    Исходные данные: задана координатная прямая и точки, лежащие на ней с заданными координатами A(1-2) и B(11+2) . Необходимо найти расстояние от точки начала отсчета O до точки A и между точками A и B.

    Решение

    1. Расстояние от точки начала отсчета до точки равно модулю координаты этой точки, соответственно OA=1-2=2-1
    2. Расстояние между точками A и B определим как модуль разности координат этих точек: AB=11+2-(1-2)=10+22

    Ответ: OA=2-1, AB=10+22

    Пример 2

    Исходные данные: задана прямоугольная система координат и две точки, лежащие на ней   A(1, -1) и B (λ+1, 3) . λ – некоторое действительное число. Необходимо найти все значения этого числа, при которых расстояние АВ будет равно 5.

    Решение

    Чтобы найти расстояние между точками A и B, необходимо использовать формулу AB=(xB-xA)2+yB-yA2

    Подставив реальные значения координат, получим:AB=(λ+1-1)2+(3-(-1))2=λ2+16

    А также используем имеющееся условие, что АВ=5 и тогда будет верным равенство:

    λ2+16=5λ2+16=25λ=±3

    Ответ:  АВ = 5, если λ=±3 .

    Пример 3

    Исходные данные: задано трехмерное пространство в прямоугольной системе координат Oxyz и лежащие в нем точки  A (1, 2, 3) и B-7, -2, 4 .

    Решение

     Для решения задачи используем формулу AB=xB-xA2+yB-yA2+(zB-zA)2

    Подставив реальные значения, получим: AB=(-7-1)2+(-2-2)2+(4-3)2=81=9 

    Ответ: |АВ| = 9

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,8 из 5 (19 голосов)