Операции над векторами в прямоугольной системе координат, сложение векторов по координатам
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Операции над векторами в прямоугольной системе координат

    Если задана плоскость Oxy с векторами a=ax, ay и b=(bx, by), то мы можем разложить их по координатным векторам i и j. Тогда это будет иметь вид a=ax·i+ay·j и b=bx·i+by·j. Чтобы найти сумму a и b и произведение a на λ, рассмотрим:

    a+b=ax·i+ay·j+bx·i+by·j=(ax+bx)·i+(ay+by)·j

    λ·a=λ·(ax·i+ay·j)=(λ·ax)·i+(λ·ay)·j

    Это равенство справедливо по свойству операций над векторами.

    Определение 1

    Разложение векторов – это a+b и λ·a, представленное в частях неравенства по i и j координатам. Координаты векторов a+b и λ·a равны соответственно (ax+bx, ay+by) и (λ·ax, λ·ay).

    Таким же образом a=(ax, ay, az) и b=(bx, by, bz) записываются как a+b=ax·i+ay·j+az·k+bx·i+by·j+bz·k=(ax+bx)·i+(ay+by)·j+(az+bz)·kλ·a=λ·(ax·i+ay·j+az·k)=(λ·ax)·i+(λ·ay)·j+(λ·az)·k

    а значит a+b=(ax+bx, ay+by, az+bz),  λ·a=(λ·ax, λ·ay, λ·az)

    Отсюда делаем вывод, что координаты векторов a и b равны сумме соответствующих координат векторов aи b, координаты произведения вектора a на λ приравниваются к соответствующим координатам вектора a, умноженным на число в заданной системе координат.

    При необходимости нахождения координат суммы нескольких векторов, необходимо сложить координаты каждого вектора соответственно. Рассмотрим примеры.

    Пример 1

    Нужно выполнить сложение a=(2, 3-13)  и b=(-1,-13). Чему равны координаты произведения вектора a на 3.

    Решение 

    Из определения имеем, что сумма векторов равна сумме их координат соответственно, тогда a+b=(2+(-1),3-13+(-13))=(1, -13).

    Числовое значение умножается на каждую координату: 3·a=(3·2, 3·3-13)=23,3-33.

    Ответ: a+b=(1, -13),   3·a=(23, 3-33)

    Пример 2

    Заданы векторы a=(0, 1, -2), b=(-1, -1, 3), c=(4, -3, 2) .

    Каковы координаты вектора 2·a+3·(b-c)=2·a+3·b+(-3)·c.

    Решение 

    Применяя свойства векторов, получим: 2·a+3·(b-c)=2·a+3·b+(-3)·c.

    Подставляем значения координат и получаем: 2·a+3·b+(-3)·c=2·(0,1,-2)+3·(-1,-1, 3)+(-3)·(4,-3, 2)=

    =(2·0, 2·1, 2·(-2))+(3·(-1), 3·(-1), 3·3)+((-3)·4,(-3)·(-3)·2)=

    =(0, 2, -4)+(-3, -3, 9) + (-12, 9 -6)=

    =(0+(-3)+(-12), 2+(-3)+9, -4+9+(-6))=(-15, 8, -1)

    Можно решить другим способом.

    Обратим внимание на разложение a, b и c :

    a=0·i+1·j+(-2)·k=j-2·k

    b=(-1)·i+(-1)·j+3 ·k=-i-j+3·k

    c=4·i+(-3)·j+2·k=4·i-3·j+2·k

    Исходя из свойств векторов, видим, что: 2·a+3·(b-c)=2·(j-2·k)+3·(-i-j+3·k-(4·i-3·j+2·k))==2·j-4·k+3·(-5·i+2·j+1·k)=-15·i+8·j-k

     Значит, координаты вектора 2·a+3·(b-c) равны (-15, 8, -1).

    Ответ: 2·a+2·(b-c)=(-15, 8, -1)

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,5 из 5 (13 голосов)