Угол поворота, угол произвольной величины, поворот вокруг точки на заданный угол
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Угол поворота, угол произвольной величины

    Среди множества терминов тригонометрии важным является понятие угла поворота. В данной статье рассмотрим поворот и все соответствующие ему определения; дадим представление о полном обороте; изучим угол поворота и его характеристики, а также поворот фигуры вокруг точки. Для лучшего понимания теория будет снабжена иллюстрациями и практическими примерами.

    Поворот точки вокруг точки

    Определение 1

    Центр поворота – точка, относительно которой осуществлен поворот.

    Рассмотрим, что происходит в результате поворота точки. Пусть некоторая точка А поворачивается относительно центра поворота О, в результате чего получается точка А1 (при совершении некоторого количества полных оборотов она может совпасть с точкой А). При этом точка А1 лежит на окружности с центром в точке О радиуса ОА. Другими словами, когда точка А осуществляет поворот относительно точки О, она переходит в точку А1, лежащую на окружности с центром О радиуса ОА.

    Считается, что в данном случае точка О при осуществлении поворота вокруг самой себя переходит в саму себя. Или: когда точка О осуществляет поворот вокруг центра поворота О, она переходит в саму себя.

    Отметим также, что поворот точки А относительно центра О нужно рассматривать, в том числе, как перемещение в результате движения точки А по окружности с центром в точке О радиуса ОА.

    Изобразим графически поворот точки А относительно точки О, перемещение точки А в точку А1 отметим стрелкой:

    Полный оборот

    Возможно осуществить поворот точки А относительно центра поворота О таким образом, что точка А, пройдя все точки окружности, вернется на прежнее свое место. Тогда говорим, что точка совершила полный оборот вокруг точки О.

    Проиллюстрируем:

    Если движение точки А по окружности продолжится, то будет выполнено два, три и так далее полных оборотов. На иллюстрации ниже справа отображено два полных оборота, а слева – три:

    В рамках всего вышесказанного можно также говорить о частях полного оборота. Например, о половине оборота или трети, или четверти и так далее.

    Угол поворота

    Из указанного выше понятия поворота точки очевидно, что возможно бесконечное множество вариаций поворота точки А относительно центра О. Любую точку окружности с центром О можно рассматривать как точку А1, полученную в результате поворота точки А. Поэтому для определения отличия одного поворота от другого вводится понятие угла поворота.

    Угол поворота имеет свои характеристики, одна из которых – направление поворота. По нему определяют, как перемещалась точка – по часовой стрелке или против.

    Еще одной характеристикой угла поворота служит его величина. Углы поворота имеют ту же единицу измерения, что и углы в геометрии: наиболее распространены градусы и радианы. Отметим, что угол поворота может выражаться в градусах любым действительным числом в промежутке от - до +, что отличает его от угла в геометрии, который выражается только положительным числом, не превосходящим 180°.

    Чтобы обозначить углы поворота, стандартно используют буквы греческого алфавита: α, β, γ и так далее. Чтобы обозначить большое количество углов поворота, применяют одну и ту же букву с различными нижними индексами: α1, α2, α3..αn.

    Разберем характеристики угла поворота подробнее.

    Направление поворота

    Отметим на окружности с центром О точки А и А1. В точку А1 возможно попасть, совершив точкой А поворот относительно центра О либо по часовой стрелке, либо – против. Очевидно определять эти повороты, как различные.

    Принято считать, что поворот по часовой стрелке – поворот в отрицательном направлении направлении, а поворот против часовой стрелки – поворот в положительном направлении.

    Приведем графическую иллюстрацию различных поворотов: слева на чертеже – поворот в положительном направлении; справа – в отрицательном.

    Величина угла поворота, угол произвольной величины

    Угол поворота точки, не являющейся центром поворота, в полной мере определяется указанием его величины. С другой стороны, по величине угла поворота можно определить, каким образом поворот был осуществлен.

    Как было сказано выше, величина угла поворота варьируется в пределах от - до +;

    Определение 2

    Знак плюс определяет поворот против часовой стрелки, а минус – по часовой стрелке.

    Необходимо установить соответствие между самой величиной угла поворота и тем, какому повороту она соответствует.

    Пусть угол поворота равен 0°. Такому углу поворота соответствует перемещение точки в саму себя. Иначе говоря, при повороте вокруг точки О на 0° точка A остается на месте.

    Теперь предположим, что поворот точки А происходит в пределах половины оборота: пусть точка А переходит в точку А1. В таком случае абсолютная величина угла АОА1, выраженная в градусах, не превосходит 180. Если поворот имел положительное направление, то величина угла поворота считается равной величине угла АОА1; если отрицательное – величина угла поворота равна величине угла АОА1 со знаком минус. Для иллюстрации этих утверждений отобразим на чертеже углы поворота в 30°, 180° и -150°:

    Углы поворота, превышающие 180 или меньшие 180 определяются, исходя из очевидного свойства последовательных поворотов:

    Определение 3

    Несколько последовательных поворотов точки А относительно центра О равносильны одному повороту, величина которого равна сумме величин этих поворотов.

    Рассмотрим пример, который даст нам возможность графически проиллюстрировать описанное свойство. Пусть точка А выполняет поворот относительно центра О на 45°, затем еще на 60° и еще раз - на -35°. Обозначим промежуточные точки поворотов А1, А2 и А3. В конечную точку А3 возможно было попасть, совершив один поворот на угол поворота, величина которого равна: 45°+ 60° + (-35°) = 70°. Проиллюстрируем:

    Таким, образом, углы, превышающие 180°, будем представлять, как несколько последовательных поворотов на углы, сумма величин которых определяет величину исходного угла поворота. Например, угол поворота 298° соответствует последовательным поворотам на 180° и 118°, или 90°, 90°, 90° и 28°, или 180°, 180° и -62°, или 298 последовательных поворотов на 1°.

    По такому же принципу определяются углы меньше -180°. Например, угол поворота -515° можно определить, как последовательные повороты на -180°,-180° и -155°.

    Нами был определен угол поворота, и его величина выражается в градусах некоторым действительным числом в пределах от - до +. Тригонометрия работает именно с углами поворота, хотя для удобства слово «поворот» опускают и говорят «угол». Т.е. будем рассматривать углы произвольной величины, понимая под ними углы поворота.

    В заключение также отметим, что полный оборот в положительном направлении соответствует углу поворота в 360° или 2π радиан. Соответственно при отрицательном направлении полный оборот будет соответствовать углу в -360° или -2π радиан.

    При этом удобно большие углы поворота представлять, как некоторое количество полных оборотов и еще один на величину в пределах от -180° до 180°. К примеру, поворот осуществляется на 1478°. Представим эту величину как: 360 · 4 + 38, т.е. заданному углу поворота соответствуют 4 полных оборота и еще один поворот – на 38°. Или еще один пример: угол поворота в -815° можно представить, как (-360) · 2 + (-95), т.е. заданному углу поворота соответствуют 2 полных оборота в отрицательном направлении (против часовой стрелки) и еще один поворот того же направления на -95°.

    Поворот фигуры вокруг точки на угол

    Понятие поворота точки легко распространить на поворот любой фигуры вокруг точки на угол (такой поворот, при котором и точка, относительно которой осуществляется поворот, и сама поворачиваемая фигура лежат в одной плоскости).

    Определение 3

    Поворот фигуры – это поворот всех ее точек вокруг заданной точки на заданный угол.

    Как пример, иллюстрируем следующее действие: поворот отрезка АВ на угол α относительно точки О – при повороте заданный отрезок перейдет в отрезок А1В1.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,5 из 5 (8 голосов)