Произведение синусов и косинусов: формулы, примеры

Произведение синусов и косинусов: формулы, примеры

    В данной статье рассмотрены формулы произведения синусов, косинусов, а также формулы произведения синуса на косинус. Допустим, есть необходимость вычислить произведение синусов или косинусов углов α и β. Формулы произведения позволяют перейти от произведения к сумме или разности синусов и косинусов углов α+β и α-β.

    Приведем формулы произведения синуса на синус, косинуса на косинус и синуса на косинус.

    Формулы произведения. Список

    Приведем формулировки, а затем и сами формулы.

    1. Произведение синусов углов α и β равно полуразности косинуса угла α-β и косинуса угла α+β.
    2. Произведение косинусов углов α и β равно полусумме косинуса угла α-β и косинуса угла α+β.
    3. Произведение синуса угла α на косинус угла β равно полусумме синуса угла α-β и синуса угла α+β.
    Формулы произведения

    Для любых α и β справедливы формулы

    • sin α·sin β=12cosα-β-cosα+β;
    • cos α·cos β=12cosα-β+cosα+β;
    • sin α·cos β=12sinα-β+sinα+β.

    Вывод формул

    Вывод описанных выше формул проводится с помощью формул сложения и на основе свойства равенства. Согласно этому свойству, если левую и правую части верного равенства сложить соответственно с левой и правой частями другого верного равенста, то в результате получится еще одно верное равенство. Покажем вывод формул произведения.

    Сначала запишем формулы косинуса суммы и косинуса разности:

    cosα+β=cos α·cos β-sin α·sin βcosα-β=cos α·cos β+sin α·sin β

    Сложим эти равенства и получим:

    cosα+β+cosα-β=cos α·cos β-sin α·sin β+cos α·cos β+sin α·sin βcosα+β+cosα-β=2·cos α·cos β

    Отсюда

    cos α·cos β=12cosα+β+cosα-β

    Формула произведения косинусов доказана.

    Перепишем формулу косинуса суммы следующим образом:

    -cos(α+β)=-cos α·cosβ+sin α·sinβ

    Добавим к равенству формулу cosα-β=cos α·cos β+sin α·sinβ.

    Получим:

    -cos(α+β)+cosα-β=-cos α·cosβ+sin α·sinβ+cos α·cos β+sin α·sinβ-cos(α+β)+cosα-β=2·sin α·sinβsin α·sinβ=12(cosα-β-cos(α+β))

    Таким образом, выведена формула произведения синусов.

    Теперь возьмем формулу синуса суммы, формулу синуса разности, и сложим их левые и правые части

    sinα+β=sin α·cos β+cos α·sin βsinα-β=sin α·cos β-cos α·sin βsinα+β+sinα-β=sin α·cos β+cos α·sin β+sin α·cos β-cos α·sin βsinα+β+sinα-β=2sin α·cos βsin α·cos β=12(sinα+β+sinα-β)

    Формула произведения синуса на косинус выведена.

    Примеры использования

    Приведем примеры использования формул произведения синусов, косинусов и синусов на косинус при решении задач. 

    Пусть α=60°, β=30°. Возьмем формулу произведения синусов и подставим в нее конкретные значения.

    sin α·sin β=12(cosα-β-cosα+β)sin 60°·sin 30° =12(cos60°-30°-cos60°+30°)sin 60°·sin 30°=12(cos30°-cos90°)sin 60°·sin 30°=12(32-0)=34

    Теперь вычислим значение выражения, обратившись к таблице основных значений тригонометрических функций.

    sin60°·sin30°=32·12=34.

     Таким образом, мы проверили формулу на практике и убедились, что формула справедлива.

    Пример. Формулы произведения

    Нужно sin 75° умножить на cos 15° и вычислить точное  значение произведения.

    Мы не располагаем точными значениями синуса и косинуса данных углов, однако можем вычислить точное значение произведения sin 75°·cos 15° c помощью формулы произведения синуса на косинус.

    sin 75°·cos 15°=12sin(75°-15°+sin(75°+15°))sin 75°·cos 15°=12sin60°+sin90°=1232+1=3+24

    Также формулы произведения используются преобразования тригонометрических выражений.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter