Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

    В этой статье будут рассмотрены три основных свойства тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

    Первое свойство - знак функции в зависимости от того, какой четверти единичной окружности приналдежит угол α. Второе свойство - периодичность. Согласно этому свойству, тигонометрическая функция не меняет значения при изменении угла на целое число оборотов. Третье свойсто определяет, как меняются значения функций sin, cos, tg, ctg при противоположных углах α и -α.

    Знаки тригонометрических функций по четвертям

    Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: "угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти". Что это такое?

    Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку A0(1, 0) и, поворачивая ее вокруг точки O на угол α, попадем в точку A1(x, y). В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A1(x, y), угол α будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно. 

    Для наглядности приведем иллюстрацию.

                                         

    Угол α=30° лежит в первой четверти. Угол -210° является углом второй четверти. Угол 585° - угол третьей четверти. Угол -45° -  это угол четвертой четверти.

    При этом углы ±90°, ±180°, ±270°, ±360° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.

    Теперь рассмотрим знаки, которые принимают синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.

    Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус - это ордината точки A1(x, y). Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной - отрицательна.

    Косинус - это абсцисса точки A1(x, y). В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.

                                      

    Для определения знаков тангенса и котангенса по четвертям также вспоминаем определения этих тригонометрических функций. Тангенс - отношение ординаты точки к абсциссе. Значит, по правилу деления чисел с разными знаками, когда ордината и абсцисса имеют одинаковые знаки, знак тангенса на окружности будет положительным, а когда ордината и абсцисса имеют разные знаки - отрицательным. Аналогично определяются знаки котангенса по четвертям. 

                                     

    Важно помнить!
    1. Синус угла α имеет знак плюс в 1 и 2 четвертях, знак минус - в 3 и 4 четвертях.
    2. Косинус угла α имеет знак плюс в 1 и 4 четвертях, знак минус - в 2 и 3 четвертях.
    3. Тангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус - в 2 и 4 четвертях.
    4. Котангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус - в 2 и 4 четвертях.

    Свойство периодичности

    Свойство периодичности - одно из самых очевидных свойств тригонометрических функций.

    Свойство периодичности

    При изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла остаются неизменными.

    Действительно, при изменении угла на целое число оборотов мы всегда будем попадать из начальной точки A на единичной окружности в точку A1 с одними и теми же координатами. Соответственно, не будут меняться и значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. 

    Математически данное свойство записывается так: 

    sinα+2π·z=sin αcosα+2π·z=cos αtgα+2π·z=tg αctgα+2π·z=ctg α

    Какое применение на практике находит это свойство? Свойство периодичности, как и формулы приведения, часто используется для вычисления значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов больших углов. 

    Приведем примеры.

    sin13π5=sin3π5+2π=sin3π5

    tg(-689°)=tg(31°+360°·(-2))=tg31°tg(-689°)=tg(-329°+360°·(-1))=tg(-329°)

    Свойства синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов

    Вновь  обратимся к единичной окружности.

                                                                   

    Точка A1(x, y) - результат поворота начальной точки A0(1, 0) вокруг центра окружности на угол α. Точка A2(x, -y) - результат поворота начальной точки на угол -α.

    Точки A1и A2 симметричны относительно оси абсцисс. В случае, когда α=0°, ±180°, ±360° точки A1и A2 совпадают. Пусть одна точка имеет координаты (x, y), а вторая - (x, -y). Вспомним определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и запишем:

    sin α=y, cos α=x, tg α=yx, ctg α=xysin-α=-y, cos-α=x, tg-α=-yx, ctg-α=x-y

      Отсюда следует свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов.

    Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов

    sin-α=-sin αcos-α=cos αtg-α=-tg αctg-α=-ctg α

    Согласно этому свойству, справедливы равенства

    sin-48°=-sin 48°, ctgπ9=-ctg-π9, cos 18°=cos-18°

    Рассмотренное свойство часто используется при решении практических задач в случаях, когда нужно избавиться от отрицательных знаков углов в агрументах тригонометрических функций. 

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,1 из 5 (17 голосов)