Числовые равенства, свойства числовых равенств

Числовые равенства, свойства числовых равенств

    После получения общих сведений о равенствах в математике переходим к более узким темам. Материал этой статьи даст представление о свойствах числовых равенств.

    Что такое числовое равенство

    Первый раз мы сталкиваемся с числовыми равенствами еще в начальной школе, когда происходит знакомство с числами и понятием «столько же». Т.е. самые примитивные числовые равенства это: 2=2, 5=5 и т.д. И на том уровне изучения мы называли их просто равенствами, без уточнения «числовые», и закладывали в них количественный или порядковый смысл (который несут натуральные числа). Например, равенство 2=2 будет соответствовать изображению, на котором – два цветка и на каждом сидит по две шмеля. Или, к примеру, две очереди, где вторыми по порядку стоят Вася и Ваня.

    По мере появления знаний об арифметических действиях числовые равенства становятся сложнее: 5+7=12; 6-1=5; 2·1=2; 21:7=3 и т.п. Затем начинают встречаться равенства, в записи которых участвуют числовые выражения разного рода. Например, (2+2)+5=2+(5+2); 4·(4(1+2))+12:41=4·1+31 и т.п. Дальше мы знакомимся с прочими видами чисел, и числовые равенства приобретают все более и более интересный и разнообразный вид.

    Определение 1

    Числовое равенство – это равенство, обе части которого состоят из чисел и/или числовых выражений.

    Свойства числовых равенств

    Сложно переоценить значимость свойств числовых равенств в математике: они являются опорой многому, определяют принцип работы с числовыми равенствами, методы решений, правила работы с формулами и многое другое.Очевидно, что существует необходимость детального изучения свойств числовых равенств.

    Свойства числовых равенств абсолютно согласованы с тем, как определяются действия с числами, а также с определением равных чисел через разность: число a равно числу b только в тех случаях, когда разность ab есть нуль. Далее в описании каждого свойства мы проследим эту связь.

    Основные свойства числовых равенств

    Изучать свойства числовых равенств начнем с трех базовых свойств, которые присущи всем равенствам. Перечислим основные свойства числовых равенств:

    • свойство рефлексивности: a=a;
    • свойство симметричности: если a=b, то b=a;
    • свойство транзитивности: если a=b и b=c, то a=c,где a, b и c – произвольные числа.
    Определение 2

    Свойство рефлексивности обозначает факт равенства числа самому себе: к примеру, 6=6, 3=3,  437=437 и т.п.

    Доказательство 1

    Нетрудно продемонстрировать справедливость равенства aa=0 для любого числа a: разность aa можно записать как сумму a+(a), а свойство сложения чисел дает нам возможность утверждать, что любому числу a соответствует единственное противоположное число a, и сумма их есть нуль.

    Определение 3

    Согласно свойству симметричности числовых равенств: если число a равно числу b,
    то число b равно числу a. К примеру, 43=64, тогда 64=43.

    Доказательство 2

    Обосновать данное свойство можно через разность чисел. Условию a=b соответствует равенство ab=0. Докажем, что ba=0.

    Запишем разность ba в виде (ab), опираясь на правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус. Новая запись выражения равна -0, а число, противоположное нулю, это нуль. Таким образом, ba=0, следовательно: b=a.

    Определение 4

    Свойство транзитивности числовых равенств гласит, что два числа равны друг другу в случае их одновременного равенства третьему числу. К примеру, если 81=9 и 9=32, то  81=32.

    Свойству транзитивности также отвечает определение равных чисел через разность и свойства действий с числами. Равенствам a=b и b=c соответствуют равенства ab=0 и bc=0.

    Доказательство 3

    Докажем справедливость равенства ac=0, из чего последует равенство чисел a и c. Посколькусложение числа с нулем не меняет само число, то ac  запишем в виде a+0c. Вместо нуля подставим сумму противоположных чисел b и b, тогда крайнее выражение станет таким: a+(b+b)c. Выполним группировку слагаемых: (ab)+(bc). Разности в скобках равны нулю, тогда и сумма (ab)+(bc) есть нуль. Это доказывает, что, когда ab=0 и bc=0, верно равенство ac=0, откуда a=c.

    Прочие важные свойства числовых равенств

    Основные свойства числовых равенств, рассмотренные выше, являются базисом для ряда дополнительных свойств, довольно ценных в разрезе практики. Перечислим их:

    Определение 5

    Прибавив к (или убавив от) обеим частям числового равенства, являющегося верным, одно и то же число, получим верное числовое равенство. Запишем буквенно: если a=b, где a и b – некоторые числа, то a+c=b+c  при любом c.

    Доказательство 4

    В качестве обоснования запишем разность (a+c)(b+c).
    Это выражение легко преобразуется в вид (ab)+(cc).
    Из a=b по условию следует, что ab=0 и cc=0, тогда (ab)+(cc)=0+0=0. Это доказывает, что (a+c)(b+c)=0, следовательно, a+c=b+c;

    Определение 6

    Если обе части верного числового равенства перемножить с любым числом или разделить на число, не равное нулю, тогда получим верное числовое равенство.
    Запишем буквенно: когда a=b, то a·c=b·c при любом числе c. Если c0, тогда и a:c=b:c.

    Доказательство 5

    Равенство верно: a·cb·c=(ab)·c=0·c=0, и из него следует равенство произведений a·c и b·c. А деление на отличное от нуля число c возможно записать как умножение на обратное число 1c;

    Определение 7

    При  a и b, отличных от нуля и равных между собой, обратные им числа также равны. 
    Запишем: когда a0, b0 и a=b, то 1a=1b. Крайнее равенство нетрудно доказать: с этой целью разделим обе части равенства a=b на число, равное произведению a·b и не равное нулю.

    Укажем еще на пару свойств, которые позволяют осуществлять сложение и умножение соответствующих частей верных числовых равенств:

    Определение 8

    При почленном сложении верных числовых равенств получается верное равенство. Запись этого свойства такова: если a=b и c=d, то a+c=b+d для любых чисел a, b, c и d.

    Доказательство 6

    Обосновать это полезное свойство возможно, опираясь на указанные ранее свойства. Мы знаем, что к обеим частям верного равенства возможно прибавить любое число.
    К равенству a=b прибавим число c, а к равенству c=d - число b, итогом станут  верные числовые равенства: a+c=b+c и c+b=d+b. Крайнее запишем в виде: b+c=b+d. Из равенств a+c=b+c и b+c=b+d согласно свойству транзитивности следует равенство a+c=b+d. Что и нужно было доказать.

    Необходимо уточнить, что почленно можно сложить не только два верных числовых равенства, но и  три, и более;

    Определение 7

    Наконец, опишем такое свойство:  почленное перемножение двух верных числовых равенств дает верное равенство. Запишем при помощи букв: если a=b и c=d, то a·c=b·d.

    Доказательство 7

    Доказательство этого свойства подобно доказательству предыдущего. Умножим обе части равенства на любое число, умножим a=b на c, а c=d на b, получим верные числовые равенства a·c=b·c и c·b=d·b. Крайнее запишем как b·c=b·d. Свойство транзитивности дает возможность из равенства a·c=b·c и b·c=b·d вывести равенство a·c=b·d, которое нам необходимо было доказать.

    И вновь уточним, что данное свойство применимо для двух, трех и более числовых равенств.
    Так, можно записать: если a=b, то an=bn для любых чисел a и b, и любого натурального числа n.

    Завершим данную статью, собрав для наглядности все рассмотренные свойства:

    a=a.

    Если a=b, то b=a.

    Если a=bи b=c, то a=c.

    Если a=b, то a+c=b+c.

    Если a=b, то a·c=b·c.

    Если a=bи с0, то a:c=b:c.

    Если a=ba=b, a0 и b0, то 1a=1b.

    Если a=b и c=d, то a·c=b·d.

    Если a=b, то an=bn.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter