Признак делимости на 6: примеры, доказательство

Признак делимости на 6, примеры, доказательство

    Данная статья раскрывает смысл признака делимости на 6. Будет введена его формулировка с примерами решений. Ниже приведем доказательство признака делимости на 6 на примере некоторых выражений.

    Признак делимости на 6, примеры

    Формулировка признака делимости на 6 включает в себя признак делимости на 2 и на 3: если число оканчивается на цифры 0, 2, 4, 6, 8, а сумма цифр делится без остатка на 3, значит, такое число делится на 6; при отсутствии хотя бы одного условия заданное число на 6 не поделится. Иначе говоря, число будет делиться на 6, когда оно поделится на 2 и на 3.

    Применение признака делимости на 6 работает в 2 этапа:

    • проверка делимости на 2, то есть число должно оканчиваться на 2 для явной делимости на 2, при отсутствии цифр 0, 2, 4, 6, 8 в конце числа деление на 6 невозможно;
    • проверка делимости на 3, причем проверка производится при помощи деления суммы цифр числа на 3 без остатка, что означает возможность делимости всего числа на 3; исходя из предыдущего пункта видно, что все число делится на 6, так как выполняются условия для деления на 3 и на 2.
    Пример 1

    Проверить, может ли число 8 813 делиться на 6?

    Решение

    Очевидно, что для ответа нужно обратить внимание на последнюю цифру числа. Так как 3 не делится на 2, отсюда следует, что одно условие не выполняется. Получаем, что заданное число на 6 не поделится.

    Ответ: нет.

    Пример 2

    Узнать, возможно ли деление числа 934 на 6 без остатка.

    Решение

    Обращаем внимание на последнюю цифру заданного числа. Так как 4 удовлетворяет первому признаку, то есть делится на 2, то следует проверить на выполнимость второе условие. В данном случае сумма цифр должна поделиться на 6. Получаем, что из числа 934 полагается сумма 9+3+4=16. Так как 16 на 3 не делится, то отсюда делаем вывод, что заданное число на 6 не поделится.

    Ответ: нет.

    Пример 3

    Проверить делимость на 6 числа 7 269 708.

    Решение

    Переходим к последней цифре числа. Так как ее значение равняется 8, то первое условие выполнимо, то есть 8 делится на 2. Переходим к проверке на выполнимость второго условия. Для этого складываем цифры заданного числа 7+2+6+9+7+0+8=39. Видно, что 39 делится на 3 без остатка. То есть получаем (39:3=13). Очевидно, что оба условия выполняются, значит, что заданно число разделится на 6 без остатка.

    Ответ: да, делится.

    Чтобы проверить делимость на 6, можно выполнить непосредственно деление на число 6 без проверки признаков делимости на него.

    Доказательство признака делимости на 6

    Рассмотрим доказательство  признака делимости на 6 с необходимыми и достаточными условиями.

    Теорема 1

    Для того, чтобы целое число a делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы это число делилось на 2 и на 3.

    Доказательство 1

    Для начала необходимо доказать, что делимость числа a на 6 обуславливает его делимость на 2 и на 3. Использование свойства делимости: если целое число делится на b, тогда произведение m·a с m, являющимся целым числом, также делится на b.

    Отсюда следует, что при делении a на 6 можно использовать свойство делимости для того, чтобы представить равенство в виде a=6·q, где q является некоторым целым числом. Такая запись произведения говорит о том, что наличие множителя дает гарантию деления на 2 и на 3. Необходимость доказана.

    Для полного доказательства делимости на 6, следует доказать достаточность. Для этого нужно доказать, что если число делится на 2 и на 3, то  оно делится  и на 6 без остатка.

    Необходимо применение основной теоремы арифметики. Если произведение нескольких целых положительных и не равных единицам множителей делится на простое число p, тогда хотя бы один множитель делится на p.

    Имеем, что целое число a поделится на 2, тогда существует такое число q, когда a=2·q. Это же выражение делится на 3, где 2·q делится на 3. Очевидно, что 2 на 3 не делится. Из теоремы следует, что q должно делиться на 3. Отсюда получим, что имеется целое число q1, где q=3·q1. Значит, полученное неравенство вида a=2·q=2·3·q1=6·q1 говорит о том, что число a будет делиться на 6. Достаточность доказана.

    Другие случаи делимости на 6

    В данном пункте рассматриваются способы доказательств делимости на 6 с переменными. Такие случаю предусматривают другой метод решения. Имеем утверждение: если один из целых множителей в произведении делится на заданное число, то и все произведение поделится на это  число. Иначе говоря, при представленном заданном выражении в виде произведения хотя бы один из множителей делится на 6, то все выражение будет делиться на 6.

    Такие выражения проще решать при помощи подстановки формулы бинома Ньютона.

    Пример 4

    Определить, будет ли выражение 7n-12n+11 делиться на 6.

    Решение

    Представим число 7 в виде суммы 6+1. Отсюда получаем запись вида 7n-12n+11=(6+1)n-12n+11. Применим формулу бинома Ньютона. После преобразований имеем, что

    7n-12n+11=(6+1)n-12n+11==(Cn0·6n+Cn1·6n-1+...++Cnn-2·62·1n-2+Cnn-1·6·1n-1+Cnn·1n)-12n+11==(6n+Cn1·6n-1+...+Cnn-2·62+n·6+1)-12n+11==6n+Cn1·6n-1+...+Cnn-2·62-6n+12==6·(6n-1+Cn1·6n-2+...+Cnn-2·61-n+2)

    Полученное произведение делится на 6, потому как один из множителей равняется 6. Отсюда следует, что n может быть любым целым натуральным числом, причем заданное выражение поделится на 6.

    Ответ: да.

    Когда выражение задается при помощи многочлена, тогда следует произвести преобразования. Видим, что требуется прибегнуть к разложению многочлена на множители.  получим, что переменная n  примет вид и запишется как n=6·m, n=6·m+1, n=6·m+2, , n=6·m+5, число m является целым. Если делимость при каждом n будет иметь смысл, то делимость заданного числа на 6 при любом значении целого n будет доказана.

    Пример 5

    Доказать, что при любом значении целого n выражение n3+5n поделится на 6.

    Решение

    Для начала разложим на множители заданное выражение и получим, что n3+5n=n·(n2+5). Если n=6·m, тогда n·(n2+5)=6m·(36m2+5). Очевидно, что наличие множителя числа 6 говорит о том, что выражение делится на 6 для любого целого значения m.

    Если n=6·m+1, получаем

    n·(n2+5)=(6m+1)·6m+12+5==(6m+1)·(36m2+12m+1+5)==(6m+1)·6·(6m2+2m+1)

    Произведение будет делиться на 6, так как имеет множитель, равняющийся 6.

    Если n=6·m+2 , то

    n·(n2+5)=(6m+2)·6m+22+5==2·(3m+1)·(36m2+24m+4+5)==2·(3m+1)·3·(12m2+8m+3)==6·(3m+1)·(12m2+8m+3)

    Выражение будет делиться на 6, так как в записи имеется множитель 6.

    Таким же образом выполняется и для n=6·m+3, n=6·m+4 и n=6·m+5. При подстановке придем к тому, что при любом целом значении m эти выражения будут делиться на 6. Отсюда следует, что заданное выражение поделится на 6 при любом целом значении n.

    Теперь рассмотрим на примере решения при помощи задействования метода математической индукции. Будет произведено решение по условию первого примера.

    Пример 6

    Доказать, что выражение вида 7n-12n+11 будет делиться на 6, где примет любые целые значения выражения.

    Решение

    Данный пример решим по методу математической индукции. Алгоритм выполним строго пошагово.

    Произведем проверку делимости выражения на 6 при n=1. Тогда получаем выражение вида 71-12·1+11=6. Очевидно, что 6 поделится само на себя.

    Возьмем n=k в исходном выражении. Когда оно будет делиться на 6, тогда можно считать, что 7k-12k+11 будет делиться на 6.

    Перейдем к доказательству деления на 6 выражения вида 7n-12n+11 при n=k+1. Отсюда получим, что необходимо доказать делимость выражения 7k+1-12·(k+1)+11 на 6, причем следует учитывать то, что 7k-12k+11 делится на 6. Преобразуем выражение и подучим, что

    7k+1-12·(k+1)+11=7·7k-12k-1==7·(7k-12k+11)+72k-78==7·(7k-12k+11)+6·(12k-13)

    Очевидно, что первое слагаемое будет делиться на 6, потому как 7k-12k+11 делится на 6. Второе слагаемое также делится на 6, потому как один из множителей равен 6. Отсюда делаем вывод, что все условия соблюдены, а значит, что вся сумма будет делиться на 6.

    Метод математической индукции доказывает, что заданное выражение вида 7n-12n+11 будет делиться на 6, когда n примет значение любого натурального числа.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,3 из 5 (8 голосов)